已知下列问题：
(1)若一块正方形地砖的面积为 $ P \, \mathrm{m}^2 $，则其边长是m；
(2)若高为 2，底面为正方形的长方体的体积为 $ V $，则该长方体的底面边长为；
(3)5 的算术平方根是.
问题 1：用含有根号的式子填空.
问题 2：问题 1 中 3 个问题的结果有什么共同点？

问题1:(1)$\sqrt{P}$;(2)$\sqrt{\frac{V}{2}}$;(3)$\sqrt{5}$.
问题2:都是形如$\sqrt{a}$的式子,且$a$都大于或等于0.

【解析】
问题1：
(1) 正方形的面积等于边长的平方，设边长为$x$，则$x^2=P$，由于边长为正数，因此边长为$\sqrt{P}$；
(2) 长方体体积公式为体积=底面积×高，已知高为2，体积为$V$，可得底面积为$\frac{V}{2}$，设底面边长为$y$，底面为正方形，则$y^2=\frac{V}{2}$，故底面边长为$\sqrt{\frac{V}{2}}$；
(3) 根据算术平方根的定义，5的算术平方根是$\sqrt{5}$。
问题2：
观察三个结果，可总结出它们的共同点：都是形如$\sqrt{a}$的式子，且被开方数$a$都大于或等于0。
【答案】
问题1：(1)$\sqrt{P}$；(2)$\sqrt{\frac{V}{2}}$；(3)$\sqrt{5}$
问题2：都是形如$\sqrt{a}$的式子，且$a$都大于或等于0
【知识点】
算术平方根的定义；正方形面积公式；长方体体积公式
【点评】
本题考查算术平方根的实际应用与二次根式的特征，通过实际问题引入算术平方根的表示，帮助加深对算术平方根意义的理解，同时培养归纳总结的能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

二次根式：一般地，把形如的式子叫作二次根式.二次根式也是.

$\sqrt{a}(a ≥ 0)$ 代数式

【解析】
根据二次根式的定义，一般地，把形如$\sqrt{a}(a ≥ 0)$的式子叫作二次根式；二次根式是由数和表示数的字母经有限次代数运算所得的式子，属于代数式。
【答案】
$\sqrt{a}(a ≥ 0)$；代数式
【知识点】
二次根式的定义、代数式的概念
【点评】
本题为基础概念题，主要考查二次根式的定义及其所属的代数式范畴，需牢记二次根式的形式限制条件。
【难度系数】
0.9

二次根式的性质：
(1)$ \sqrt{a} $0($ a ≥ 0 $)；
(2)$ (\sqrt{a})^2 = $($ a ≥ 0 $)；
（3）$ \sqrt{a^2} = $ ______ $ = \begin{cases}\mathrm{\_\_\_\_\_\_} (a ≥ 0), \\ \mathrm{\_\_\_\_\_\_} (a ＜ 0).\end{cases}$

(1)$≥$ (2)$a$ (3)$|a|$ $a$ $-a$

【解析】
1. 二次根式具有非负性：$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，算术平方根是非负的，故$\sqrt{a}≥0$；
2. 非负数的算术平方根的平方等于它本身：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$；
3. 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值：$\sqrt{a^2}=|a|$，根据绝对值的性质，当$a≥0$时，$|a|=a$；当$a＜0$时，$|a|=-a$。
【答案】
(1)$≥$ (2)$a$ (3)$|a|$ $a$ $-a$
【知识点】
二次根式的非负性、$(\sqrt{a})^2$的性质、$\sqrt{a^2}$的性质
【点评】
本题考查二次根式的核心基础性质，是二次根式化简与运算的重要前提，需准确理解并牢记这些性质。
【难度系数】
0.9

【例 1】当 $ x $ 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)$ \sqrt{9 - 4x} $； (2)$ \dfrac{\sqrt{3x - 5}}{x - 3} $；
(3)$ \sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x} $.
解：
【规律方法】
利用二次根式有意义的条件求字母取值范围的思路
(1)单独一个二次根式，要保证被开方数大于或等于 0.
(2)多个二次根式的组合，要列出不等式组，求出不等式组的解集.
变式训练
1. 若代数式 $ \dfrac{\sqrt{5 - x}}{x + 3} $ 在实数范围内有意义，则实数 $ x $ 的取值范围是()
A. $ x ≠ 3 $
B. $ x ≥ 5 $
C. $ x ≤ 5 $，且 $ x ≠ -3 $
D. $ x ≤ 5 $，且 $ x ≠ 3 $
2. 使式子 $ \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} + \sqrt{4 - 3x} $ 有意义的整数 $ x $ 有哪几个？

【例1】解:(1)$x ≤ \frac{9}{4}$.
(2)$x ≥ \frac{5}{3}$,且$x ≠ 3$.
(3)$-3 ≤ x ≤ 2$.
变式训练
1.C
2.解:$x$可以取$-2,-1,0,1$.

【解析】
1. 例1：
(1) 对于$\sqrt{9 - 4x}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数需非负，即$9 - 4x ≥ 0$，解得$x ≤ \frac{9}{4}$。
(2) 对于$\dfrac{\sqrt{3x - 5}}{x - 3}$，需同时满足二次根式被开方数非负和分母不为0，即$\begin{cases}3x - 5 ≥ 0 \\ x - 3 ≠ 0\end{cases}$，解不等式$3x - 5 ≥ 0$得$x ≥ \frac{5}{3}$，结合$x ≠ 3$，故$x ≥ \frac{5}{3}$且$x ≠ 3$。
(3) 对于$\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x}$，需两个二次根式的被开方数均非负，即$\begin{cases}x + 3 ≥ 0 \\ 2 - x ≥ 0\end{cases}$，解不等式组得$-3 ≤ x ≤ 2$。
2. 变式训练：
1. 对于$\dfrac{\sqrt{5 - x}}{x + 3}$，需满足$\begin{cases}5 - x ≥ 0 \\ x + 3 ≠ 0\end{cases}$，解得$x ≤ 5$且$x ≠ -3$，对应选项C。
2. 对于$\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} + \sqrt{4 - 3x}$，需满足$\begin{cases}x + 3 ＞ 0 \\ 4 - 3x ≥ 0\end{cases}$，解不等式组得$-3 ＜ x ≤ \frac{4}{3}$，其中整数$x$为$-2,-1,0,1$。
【答案】
【例1】(1)$x ≤ \frac{9}{4}$；(2)$x ≥ \frac{5}{3}$，且$x ≠ 3$；(3)$-3 ≤ x ≤ 2$。
变式训练1. C；2. $x$可以取$-2,-1,0,1$。
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解不等式(组)
【点评】
本题围绕二次根式和分式有意义的条件展开，涵盖多种常见题型，需准确把握不同场景下的取值要求，通过解不等式或不等式组确定字母的取值范围，是基础且重要的考点。
【难度系数】
0.6