19. (本小题 8 分)如图,$ BD ⊥ CD $ 于点 $ D $,$ EF ⊥ CD $ 于点 $ F $,$ ∠ 1 = ∠ 2 $.
(1) 判断 $ AD $ 与 $ BC $ 的位置关系,并说明理由;
(2) 若 $ BD $ 平分 $ ∠ ABC $,$ ∠ A = 108^{\circ} $,求 $ ∠ 1 $ 的度数.

(1)AD//BC；(2)36°

(1)AD//BC。理由：∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴∠BDC=∠EFC=90°，∴BD//EF（同位角相等，两直线平行）。∵BD//EF，∴∠2=∠DBC（两直线平行，同位角相等）。∵∠1=∠2，∴∠1=∠DBC（等量代换），∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
(2)∵AD//BC，∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵∠A=108°，∴∠ABC=180°-108°=72°。∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC/2=36°。由(1)知∠1=∠DBC，∴∠1=36°。

20. (本小题 10 分)按要求完成下面的推理过程.
如图,$ AC // DE $,$ CD $ 平分 $ ∠ ACB $,$ EF $ 平分 $ ∠ DEB $.求证:$ CD // EF $.

证明:$ \because AC // DE $,
$ \therefore ∠ ACB = ∠ $().
$ \because CD $ 平分 $ ∠ ACE $,$ EF $ 平分 $ ∠ DEB $,
$ \therefore ∠ 1 = \frac{1}{2} ∠ $,$ ∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ $.
$ \therefore ∠ $$ = ∠ $.
$ \therefore CD // EF $().

DEB；两直线平行，同位角相等；ACB；DEB；1；2；同位角相等，两直线平行

$\because AC // DE$，
$\therefore ∠ACB = ∠DEB$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CD$平分$∠ACB$，$EF$平分$∠DEB$，
$\therefore ∠1 = \frac{1}{2}∠ACB$，$∠2 = \frac{1}{2}∠DEB$。
$\therefore ∠1 = ∠2$。
$\therefore CD // EF$（同位角相等，两直线平行）。