5. 已知：如图，在△ABC 中，BD，CE 分别是边 AC，AB 上的高，且∠DBC = ∠ECB。求证：△ABC 是等腰三角形。

证明：
由题意，$BD$和$CE$分别是$AC$和$AB$上的高，
$\therefore ∠ BEC = ∠ CDB = 90°$。
$\because ∠ DBC = ∠ ECB$，
且$BC$为公共边，
$\therefore △ BEC ≌ △ CDB$（$AAS$），
$\therefore ∠ ABC =∠ ACB$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。

6. 在△ABC 中，∠A = 50°，当∠B = 时，△ABC 为等腰三角形。

本题可根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论，结合三角形内角和定理来求解$∠ B$的度数。
设$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$是$△ ABC$的三个内角。
情况一：当$∠ A$为顶角时，$∠B = ∠ C$。
已知$∠ A = 50^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$∠B+∠ C = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$。
因为$∠ B = ∠ C$，所以$∠ B=\frac{130^{\circ}}{2}=65^{\circ}$。
情况二：当$∠ B$为顶角时，$∠ A = ∠ C = 50^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$∠ B = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 50^{\circ} = 80^{\circ}$。
情况三：当$∠ C$为顶角时，$∠ A = ∠ B = 50^{\circ}$。
所以$∠ B$为$50^{\circ}$或$65^{\circ}$或$80^{\circ}$。

7. 如图，在△ABC 中，AB = 15 cm，AC = 9 cm，点 P 从点 B 出发以每秒 3 cm 的速度向点 A 运动，同时点 Q 从点 A 出发以每秒 2 cm 的速度向点 C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。当 AQ 的长度是时，△APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形。

6 cm

设运动时间为$ t $秒。
由题意得：$ BP = 3t \, \mathrm{cm} $，$ AQ = 2t \, \mathrm{cm} $，则$ AP = AB - BP = (15 - 3t) \, \mathrm{cm} $。
因为$ △ APQ $以$ PQ $为底，所以$ AP = AQ $。
即$ 15 - 3t = 2t $，解得$ t = 3 $。
此时$ AQ = 2t = 2 × 3 = 6 \, \mathrm{cm} $。
验证：点$ P $运动时间上限为$ 15 ÷ 3 = 5 \, \mathrm{秒} $，点$ Q $运动时间上限为$ 9 ÷ 2 = 4.5 \, \mathrm{秒} $，$ t = 3 \, \mathrm{秒} $在有效范围内。

8. 【综合与实践】在综合实践课上，老师以“含 30°角的三角尺和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动：
在等腰三角形纸片 ABC 中，CA = CB，∠ACB = 120°，将一块含 30°角的足够大的三角尺 PMN(∠M = 90°，∠MPN = 30°)按如图所示的方式放置，顶点 P 在线段 AB 上滑动(点 P 不与点 A，B 重合)，三角尺的直角边 PM 始终经过点 C，且与 CB 的夹角为α(∠PCB = α)，斜边 PN 交 AC 于点 D。
【特例感知】(1) 当∠BPC = 110°时，α = °，点 P 从点 B 向点 A 运动时，∠ADP 逐渐变(填“大”或“小”)。
【思维拓展】(2) 在点 P 滑动的过程中，△PCD 可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由。

(1) 40；大
(2) 可以，α=45°或90°。
① 当PC=PD时，∠PCD=∠PDC，即120°-α=30°+α，解得α=45°；
② 当PD=CD时，∠CPD=∠PCD，即30°=120°-α，解得α=90°；
③ 当PC=CD时，∠CPD=∠PDC，即30°=30°+α，解得α=0°（P与B重合，舍去）。
综上，α=45°或90°。