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12. 如图，$E$ 是 $□ ABCD$ 的边 $CD$ 的中点，$AE$，$BC$ 的延长线交于点 $F$，$CF = 3$，$CE = 2$. 求 $□ ABCD$ 的周长.
答案
14
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=2，
∴CD=DE+CE=4，
在△ADE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l} ∠DAE=∠F\\ ∠D=∠ECF\\ DE=CE\end{array} $，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF=3，
∴BC=AD=3，
∴□ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(4+3)=14.
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=2，
∴CD=DE+CE=4，
在△ADE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l} ∠DAE=∠F\\ ∠D=∠ECF\\ DE=CE\end{array} $，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF=3，
∴BC=AD=3，
∴□ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(4+3)=14.
13. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AD$，$BC$ 上的一点，且 $∠ EBF = ∠ EDF$. 求证：$DE = BF$.
答案
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即ED//BF。
∵AD//BC，
∴∠EDF=∠DFB（两直线平行，内错角相等）。
∵∠EBF=∠EDF，
∴∠EBF=∠DFB。
∴BE//DF（内错角相等，两直线平行）。
∵ED//BF，BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形。
∴DE=BF（平行四边形对边相等）。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即ED//BF。
∵AD//BC，
∴∠EDF=∠DFB（两直线平行，内错角相等）。
∵∠EBF=∠EDF，
∴∠EBF=∠DFB。
∴BE//DF（内错角相等，两直线平行）。
∵ED//BF，BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形。
∴DE=BF（平行四边形对边相等）。
