1. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为 1 和 3,则其斜边长为()

A.1
B.2.4
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$

D

根据勾股定理，直角三角形的斜边长 $c$ 满足 $c^2 = a^2 + b^2$，其中 $a$ 和 $b$ 是直角边的长度。
将 $a = 1$ 和 $b = 3$ 代入公式，得到：
$c = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$。

2. 以下列各组数为边长,可以组成直角三角形的是()

A.3,4,5
B.4,5,6
C.5,6,7
D.6,7,8

A

根据勾股定理的逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
对于选项A：$3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$，$5^{2} = 25$，因为$3^{2} + 4^{2}=5^{2}$，所以能组成直角三角形。
对于选项B：$4^{2}+5^{2}=16 + 25 = 41$，$6^{2}=36$，因为$4^{2}+5^{2}≠6^{2}$，所以不能组成直角三角形。
对于选项C：$5^{2}+6^{2}=25 + 36 = 61$，$7^{2}=49$，因为$5^{2}+6^{2}≠7^{2}$，所以不能组成直角三角形。
对于选项D：$6^{2}+7^{2}=36 + 49 = 85$，$8^{2}=64$，因为$6^{2}+7^{2}≠8^{2}$，所以不能组成直角三角形。

3. 下列命题中,逆命题成立的是()

A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.两直线平行,同位角相等
D.如果两个角都是 $45^{\circ}$,那么这两个角相等

C

A选项原命题：如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等。
根据三角形全等的判定定理，知道对应角相等的三角形不一定全等（例如，两个相似但不全等的三角形），所以A选项的逆命题不成立。
B选项原命题：如果两个数相等，那么它们的绝对值相等；逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等。
考虑数$3$和$-3$，它们的绝对值都等于$3$，但这两个数并不相等。所以B选项的逆命题不成立。
C选项原命题：如果两直线平行，那么同位角相等；逆命题：如果同位角相等，那么两直线平行。
根据平行线的性质，知道当两直线的同位角相等时，这两直线一定是平行的。所以C选项的逆命题成立。
D选项原命题：如果两个角都是 $45^{\circ}$，那么这两个角相等；逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是 $45^{\circ}$，显然，有很多相等的角并不是 $45^{\circ}$，所以D选项的逆命题不成立。

4. 如图,点 $A$ 在数轴上,其表示的数为 2,过点 $A$ 作 $AB⊥ OA$,且 $AB = 3$,连接 $OB$.以点 $O$ 为圆心,$OB$ 长为半径作弧,与数轴正半轴交于点 $P$,则点 $P$ 表示的实数为()

A.$\sqrt{5}$
B.3.6
C.$\sqrt{13}$
D.4

C

∵点A表示的数为2，∴OA=2。
∵AB⊥OA，AB=3，
∴在Rt△OAB中，OB=$\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{13}$。
∵以O为圆心，OB为半径作弧交数轴正半轴于P，
∴OP=OB=$\sqrt{13}$，即点P表示的实数为$\sqrt{13}$。

5. 如图,一棵大树在距地面 5 m 处折断,倒下后树顶端着地点 $A$ 距树底端 $B$ 的距离为 12 m.这棵大树在折断前的高度为()

A.10 m
B.17 m
C.18 m
D.20 m

C

设折断部分长度为 $ x $ m，由题意知，折断后形成直角三角形，直角边分别为 5 m 和 12 m，斜边为 $ x $ m。根据勾股定理，$ x^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $，解得 $ x = 13 $。大树折断前高度为 $ 13 + 5 = 18 $ m。