5. 新考向 阅读理解 将完全平方公式$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$进行适当的变形，可以解决很多的数学问题.
例：若$a-b=3$，$ab=1$，求$a^{2}+b^{2}$的值.
解：$\because a-b=3$，$ab=1$，
$\therefore (a-b)^{2}=9$，$2ab=2$.
$\therefore (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=9$.
$\therefore a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab=11$.
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)已知$a-b=4$，$ab=5$，求$a^{2}+b^{2}$和$(a+b)^{2}$的值.
(2)若$a-b=2$，$ab=3$，求$a^{4}+b^{4}$的值.

解：(1)$\because a-b=4$，$ab=5$，$\therefore a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab=4^{2}+2×5=26$，$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab=4^{2}+4×5=36$。(2)$a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab=2^{2}+2×3=10$，$a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}=10^{2}-2×3^{2}=82$。

6. 如图，$C$是线段$BG$上的一点，以$BC$，$CG$为边作一个正方形，面积分别是$S_{1}$和$S_{2}$，两个正方形的面积和$S_{1}+S_{2}=40$.已知$BG=8$，则图中阴影部分的面积为()

A.6
B.8
C.10
D.12

A

7. 【发现】
比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
【验证】
(1)$9^{2}-6^{2}$的结果是3的多少倍？
(2)设偶数为$2n$，试说明：比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除.
【延伸】
(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是多少？请说明理由.

解：(1)$\because 9^{2}-6^{2}=45$，$45÷3=15$，$\therefore 9^{2}-6^{2}$是3的15倍。(2) 由题意，得偶数为$2n$，比$2n$大3的数为$2n+3$，$\therefore (2n+3)^{2}-(2n)^{2}=4n^{2}+12n+9-4n^{2}=12n+9=3(4n+3)$。$\because 4n+3$为整数，$\therefore 3(4n+3)$能被3整除。$\therefore$比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除。(3) 余数为3，理由如下：设这个数为$m$，则比$m$大3的数为$m+3$。$\because (m+3)^{2}-m^{2}=m^{2}+6m+9-m^{2}=6m+9=6(m+1)+3$，$\therefore 6(m+1)+3$被6整除的余数为3。

8. 将一个长为$4a$、宽为$b$的长方形沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2).
【自主探究】(1)如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是.
【知识运用】(2)若$x-y=5$，$xy=6$，则$(x+y)^{2}=$.
【知识迁移】(3)设$A=\frac{x-2y-3}{4}$，$B=x+2y-3$，化简：$(A-B)^{2}-(A+B)^{2}$.
【知识延伸】(4)若$(2024-m)^{2}+(m-2025)^{2}=9$，则$(2024-m)(m-2025)=$.

解：(1)$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$(2) 49 (3)$\because A=\frac {x-2y-3}{4}$，$B=x+2y-3$，$\therefore$原式$=A^{2}-2AB+B^{2}-(A^{2}+2AB+B^{2})=-4AB=-4· \frac {x-2y-3}{4}· (x+2y-3)=-(x-3-2y)(x-3+2y)=-[(x-3)^{2}-(2y)^{2}]=-(x^{2}-6x+9-4y^{2})=-x^{2}+6x-9+4y^{2}$。(4) -4