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1. 分式$\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$和$\frac{1}{a + b}$的最简公分母是
$ a^{2}-b^{2} $
.答案
1. $ a^{2}-b^{2} $
解析
【解析】
先对分母$a^2 - b^2$因式分解，由平方差公式可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
分式$\frac{1}{a^2 - b^2}$的分母是$(a+b)(a-b)$，分式$\frac{1}{a+b}$的分母是$a+b$，根据最简公分母的定义，取各分母所有因式的最高次幂的乘积，所以最简公分母为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
【答案】
$a^{2}-b^{2}$
【知识点】
最简公分母的确定、平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查最简公分母的确定，解题关键是先对能因式分解的分母进行因式分解，再依据最简公分母的定义求解，属于基础题。
【难度系数】
0.9
先对分母$a^2 - b^2$因式分解，由平方差公式可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
分式$\frac{1}{a^2 - b^2}$的分母是$(a+b)(a-b)$，分式$\frac{1}{a+b}$的分母是$a+b$，根据最简公分母的定义，取各分母所有因式的最高次幂的乘积，所以最简公分母为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
【答案】
$a^{2}-b^{2}$
【知识点】
最简公分母的确定、平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查最简公分母的确定，解题关键是先对能因式分解的分母进行因式分解，再依据最简公分母的定义求解，属于基础题。
【难度系数】
0.9
2. 计算：(1)$\frac{1}{a}+\frac{a - b}{ab}=$
$ \frac{1}{b} $
. (2)$\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{x - 1}=$$ \frac{2x}{x^{2}-1} $
.答案
2. (1) $ \frac{1}{b} $ (2) $ \frac{2x}{x^{2}-1} $
解析
【解析】
(1) 对$\frac{1}{a}+\frac{a - b}{ab}$进行通分，公分母为$ab$，将$\frac{1}{a}$化为$\frac{b}{ab}$，再计算同分母分式加法：
$\frac{1}{a}+\frac{a - b}{ab}=\frac{b}{ab}+\frac{a - b}{ab}=\frac{b+a-b}{ab}=\frac{a}{ab}=\frac{1}{b}$；
(2) 对$\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{x - 1}$进行通分，公分母为$(x+1)(x-1)=x^2-1$，分子分别化为$x-1$和$x+1$，再计算加法：
$\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{x - 1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-1)+(x+1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{b}$；(2) $\frac{2x}{x^{2}-1}$
【知识点】
分式的加减法，分式通分约分
【点评】
本题考查异分母分式的加减运算，核心是掌握通分方法，将异分母分式转化为同分母分式后运算，最后需将结果化为最简分式。
【难度系数】
0.6
(1) 对$\frac{1}{a}+\frac{a - b}{ab}$进行通分，公分母为$ab$，将$\frac{1}{a}$化为$\frac{b}{ab}$，再计算同分母分式加法：
$\frac{1}{a}+\frac{a - b}{ab}=\frac{b}{ab}+\frac{a - b}{ab}=\frac{b+a-b}{ab}=\frac{a}{ab}=\frac{1}{b}$；
(2) 对$\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{x - 1}$进行通分，公分母为$(x+1)(x-1)=x^2-1$，分子分别化为$x-1$和$x+1$，再计算加法：
$\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{x - 1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-1)+(x+1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{b}$；(2) $\frac{2x}{x^{2}-1}$
【知识点】
分式的加减法，分式通分约分
【点评】
本题考查异分母分式的加减运算，核心是掌握通分方法，将异分母分式转化为同分母分式后运算，最后需将结果化为最简分式。
【难度系数】
0.6
3. 下列计算正确的是(
A.$2(x - 1)-(x - 1)=x - 3$
B.$\frac{1}{a}+\frac{2}{a}=\frac{3}{2a}$
C.$\frac{y}{x - y}-\frac{x}{x - y}=-1$
D.$(x + 1)÷ y·\frac{1}{y}=x + 1$
C
)A.$2(x - 1)-(x - 1)=x - 3$
B.$\frac{1}{a}+\frac{2}{a}=\frac{3}{2a}$
C.$\frac{y}{x - y}-\frac{x}{x - y}=-1$
D.$(x + 1)÷ y·\frac{1}{y}=x + 1$
答案
3. C
解析
【解析】
对各选项逐一计算：
A. $2(x - 1)-(x - 1)=(2-1)(x-1)=x-1≠ x-3$，计算错误；
B. $\frac{1}{a}+\frac{2}{a}=\frac{1+2}{a}=\frac{3}{a}≠ \frac{3}{2a}$，计算错误；
C. $\frac{y}{x - y}-\frac{x}{x - y}=\frac{y - x}{x - y}=\frac{-(x - y)}{x - y}=-1$，计算正确；
D. $(x + 1)÷ y·\frac{1}{y}=(x+1)·\frac{1}{y}·\frac{1}{y}=\frac{x+1}{y^2}≠ x+1$，计算错误。
【答案】
C
【知识点】
分式加减运算、整式加减运算、分式乘除运算
【点评】
本题考查整式与分式的基本运算，需熟练掌握运算法则，注意运算顺序及同分母分式的加减法则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
对各选项逐一计算：
A. $2(x - 1)-(x - 1)=(2-1)(x-1)=x-1≠ x-3$，计算错误；
B. $\frac{1}{a}+\frac{2}{a}=\frac{1+2}{a}=\frac{3}{a}≠ \frac{3}{2a}$，计算错误；
C. $\frac{y}{x - y}-\frac{x}{x - y}=\frac{y - x}{x - y}=\frac{-(x - y)}{x - y}=-1$，计算正确；
D. $(x + 1)÷ y·\frac{1}{y}=(x+1)·\frac{1}{y}·\frac{1}{y}=\frac{x+1}{y^2}≠ x+1$，计算错误。
【答案】
C
【知识点】
分式加减运算、整式加减运算、分式乘除运算
【点评】
本题考查整式与分式的基本运算，需熟练掌握运算法则，注意运算顺序及同分母分式的加减法则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
4. 分式$\frac{a}{a + 2}-\frac{4}{a^{2}+2a}$的计算结果是(
A.$\frac{2}{a}$
B.$a - 2$
C.$\frac{a - 2}{a}$
D.$\frac{a - 4}{a^{2}+2a}$
C
)A.$\frac{2}{a}$
B.$a - 2$
C.$\frac{a - 2}{a}$
D.$\frac{a - 4}{a^{2}+2a}$
答案
4. C
解析
【解析】
1. 对第二个分式的分母因式分解：$a^2+2a=a(a+2)$；
2. 通分，将两个分式化为同分母分式：
$\frac{a}{a+2}-\frac{4}{a(a+2)}=\frac{a· a}{a(a+2)}-\frac{4}{a(a+2)}$；
3. 分子进行运算：$\frac{a^2 - 4}{a(a+2)}$；
4. 利用平方差公式对分子因式分解：$a^2-4=(a-2)(a+2)$；
5. 约去公因式$(a+2)$，得到$\frac{a-2}{a}$。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式
【点评】
本题考查分式的基本运算，需熟练掌握通分、约分的方法，以及利用平方差公式进行因式分解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
1. 对第二个分式的分母因式分解：$a^2+2a=a(a+2)$；
2. 通分，将两个分式化为同分母分式：
$\frac{a}{a+2}-\frac{4}{a(a+2)}=\frac{a· a}{a(a+2)}-\frac{4}{a(a+2)}$；
3. 分子进行运算：$\frac{a^2 - 4}{a(a+2)}$；
4. 利用平方差公式对分子因式分解：$a^2-4=(a-2)(a+2)$；
5. 约去公因式$(a+2)$，得到$\frac{a-2}{a}$。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式
【点评】
本题考查分式的基本运算，需熟练掌握通分、约分的方法，以及利用平方差公式进行因式分解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 若$x + y=-4$，$xy=-12$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的值为(
A.$\frac{4}{15}$
B.$3$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
D
)A.$\frac{4}{15}$
B.$3$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
5. D
解析
【解析】
先对所求分式通分：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$
将$x + y=-4$，$xy=-12$代入上式：
$\frac{-4}{-12}=\frac{1}{3}$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是掌握分式通分方法，运用整体代入思想计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
先对所求分式通分：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$
将$x + y=-4$，$xy=-12$代入上式：
$\frac{-4}{-12}=\frac{1}{3}$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是掌握分式通分方法，运用整体代入思想计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 化简：$\frac{a + 1}{a^{2}-2a + 1}÷(1+\frac{2}{a - 1})$(
A.$\frac{1}{a - 1}$
B.$\frac{1}{a + 1}$
C.$\frac{1}{a^{2}-1}$
D.$\frac{1}{a^{2}+1}$
A
)A.$\frac{1}{a - 1}$
B.$\frac{1}{a + 1}$
C.$\frac{1}{a^{2}-1}$
D.$\frac{1}{a^{2}+1}$
答案
6. A
解析
【解析】
1. 对原式分母因式分解：$a^2 - 2a + 1=(a-1)^2$；
2. 计算括号内的式子：
$1+\frac{2}{a-1}=\frac{a-1}{a-1}+\frac{2}{a-1}=\frac{a+1}{a-1}$；
3. 将除法转化为乘法：
原式$=\frac{a+1}{(a-1)^2} ÷ \frac{a+1}{a-1}=\frac{a+1}{(a-1)^2} × \frac{a-1}{a+1}$；
4. 约分：约去$(a+1)$和一个$(a-1)$，得$\frac{1}{a-1}$。
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算、完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题关键是掌握分式通分、除法变乘法的运算法则，以及利用完全平方公式因式分解进行约分，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
1. 对原式分母因式分解：$a^2 - 2a + 1=(a-1)^2$；
2. 计算括号内的式子：
$1+\frac{2}{a-1}=\frac{a-1}{a-1}+\frac{2}{a-1}=\frac{a+1}{a-1}$；
3. 将除法转化为乘法：
原式$=\frac{a+1}{(a-1)^2} ÷ \frac{a+1}{a-1}=\frac{a+1}{(a-1)^2} × \frac{a-1}{a+1}$；
4. 约分：约去$(a+1)$和一个$(a-1)$，得$\frac{1}{a-1}$。
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算、完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题关键是掌握分式通分、除法变乘法的运算法则，以及利用完全平方公式因式分解进行约分，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
7. 计算：
(1)$\frac{6}{a^{2}-9}-\frac{1}{a - 3}$.
(2)$\frac{4}{a^{2}-1}-\frac{2}{a^{2}+a}$.
(1)$\frac{6}{a^{2}-9}-\frac{1}{a - 3}$.
(2)$\frac{4}{a^{2}-1}-\frac{2}{a^{2}+a}$.
答案
7. (1) $ -\frac{1}{a+3} $ (2) $ \frac{2}{a^{2}-a} $
解析
【解析】
(1) 先对分母因式分解，再通分计算：
$\frac{6}{a^2-9}-\frac{1}{a-3}=\frac{6}{(a+3)(a-3)}-\frac{a+3}{(a+3)(a-3)}=\frac{6-(a+3)}{(a+3)(a-3)}=\frac{3-a}{(a+3)(a-3)}=-\frac{1}{a+3}$
(2) 先对分母因式分解，再通分计算：
$\frac{4}{a^2-1}-\frac{2}{a^2+a}=\frac{4}{(a+1)(a-1)}-\frac{2}{a(a+1)}=\frac{4a}{a(a+1)(a-1)}-\frac{2(a-1)}{a(a+1)(a-1)}=\frac{4a-2(a-1)}{a(a+1)(a-1)}=\frac{2(a+1)}{a(a+1)(a-1)}=\frac{2}{a^2-a}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{a+3}$；(2) $\frac{2}{a^2-a}$
【知识点】
分式加减运算，因式分解
【点评】
本题考查分式的加减运算，核心是通过因式分解确定最简公分母，再进行通分、分子化简与约分，过程中需注意符号处理和约分的准确性。
【难度系数】
0.6
(1) 先对分母因式分解，再通分计算：
$\frac{6}{a^2-9}-\frac{1}{a-3}=\frac{6}{(a+3)(a-3)}-\frac{a+3}{(a+3)(a-3)}=\frac{6-(a+3)}{(a+3)(a-3)}=\frac{3-a}{(a+3)(a-3)}=-\frac{1}{a+3}$
(2) 先对分母因式分解，再通分计算：
$\frac{4}{a^2-1}-\frac{2}{a^2+a}=\frac{4}{(a+1)(a-1)}-\frac{2}{a(a+1)}=\frac{4a}{a(a+1)(a-1)}-\frac{2(a-1)}{a(a+1)(a-1)}=\frac{4a-2(a-1)}{a(a+1)(a-1)}=\frac{2(a+1)}{a(a+1)(a-1)}=\frac{2}{a^2-a}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{a+3}$；(2) $\frac{2}{a^2-a}$
【知识点】
分式加减运算，因式分解
【点评】
本题考查分式的加减运算，核心是通过因式分解确定最简公分母，再进行通分、分子化简与约分，过程中需注意符号处理和约分的准确性。
【难度系数】
0.6
