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8. 先化简，再求值：
$(1-\frac{1}{a - 1})÷\frac{a^{2}-4a + 4}{a^{2}-a}$，其中$a=-1$.
$(1-\frac{1}{a - 1})÷\frac{a^{2}-4a + 4}{a^{2}-a}$，其中$a=-1$.
答案
8. $ \frac{a}{a-2} $； $ \frac{1}{3} $
解析
【解析】
1. 化简括号内的式子：
$1-\frac{1}{a - 1}=\frac{a - 1}{a - 1}-\frac{1}{a - 1}=\frac{a - 2}{a - 1}$；
2. 对分式的分子分母因式分解：
$a^2 - 4a + 4=(a - 2)^2$，$a^2 - a=a(a - 1)$；
3. 将除法转化为乘法并约分：
原式$=\frac{a - 2}{a - 1} ÷ \frac{(a - 2)^2}{a(a - 1)}=\frac{a - 2}{a - 1} × \frac{a(a - 1)}{(a - 2)^2}=\frac{a}{a - 2}$；
4. 代入$a=-1$求值：
当$a=-1$时，$\frac{a}{a - 2}=\frac{-1}{-1 - 2}=\frac{1}{3}$。
【答案】
化简结果为$\boldsymbol{\frac{a}{a-2}}$，求值结果为$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算与化简求值，需掌握分式通分、约分的运算法则，以及因式分解在分式运算中的应用，代入数值计算时注意符号的正确性。
【难度系数】
0.6
1. 化简括号内的式子：
$1-\frac{1}{a - 1}=\frac{a - 1}{a - 1}-\frac{1}{a - 1}=\frac{a - 2}{a - 1}$；
2. 对分式的分子分母因式分解：
$a^2 - 4a + 4=(a - 2)^2$，$a^2 - a=a(a - 1)$；
3. 将除法转化为乘法并约分：
原式$=\frac{a - 2}{a - 1} ÷ \frac{(a - 2)^2}{a(a - 1)}=\frac{a - 2}{a - 1} × \frac{a(a - 1)}{(a - 2)^2}=\frac{a}{a - 2}$；
4. 代入$a=-1$求值：
当$a=-1$时，$\frac{a}{a - 2}=\frac{-1}{-1 - 2}=\frac{1}{3}$。
【答案】
化简结果为$\boldsymbol{\frac{a}{a-2}}$，求值结果为$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算与化简求值，需掌握分式通分、约分的运算法则，以及因式分解在分式运算中的应用，代入数值计算时注意符号的正确性。
【难度系数】
0.6
9. 先化简，再求值：
$\frac{3x + 6}{x^{2}+4x + 4}÷\frac{x - 2}{x + 2}-\frac{1}{x - 2}$，其中$x=-6$.
$\frac{3x + 6}{x^{2}+4x + 4}÷\frac{x - 2}{x + 2}-\frac{1}{x - 2}$，其中$x=-6$.
答案
9. $ \frac{2}{x-2} $； $ -\frac{1}{4} $
解析
【解析】
1. 对原式分子分母因式分解，将除法转化为乘法：
$\frac{3x + 6}{x^{2}+4x + 4}÷\frac{x - 2}{x + 2}-\frac{1}{x - 2}$
$=\frac{3(x+2)}{(x+2)^2} × \frac{x+2}{x-2} - \frac{1}{x-2}$
2. 约分计算：
$=\frac{3}{x-2} - \frac{1}{x-2}$
3. 合并同分母分式：
$=\frac{3-1}{x-2} = \frac{2}{x-2}$
4. 代入$x=-6$求值：
当$x=-6$时，$\frac{2}{-6-2}=-\frac{1}{4}$
【答案】
化简结果为$\frac{2}{x-2}$；求值结果为$-\frac{1}{4}$
【知识点】
分式化简求值、分式混合运算
【点评】
本题考查分式的化简求值，需掌握因式分解、分式乘除及加减运算法则，运算时注意约分与通分的正确应用，代入数值时留意符号运算。
【难度系数】
0.7
1. 对原式分子分母因式分解，将除法转化为乘法：
$\frac{3x + 6}{x^{2}+4x + 4}÷\frac{x - 2}{x + 2}-\frac{1}{x - 2}$
$=\frac{3(x+2)}{(x+2)^2} × \frac{x+2}{x-2} - \frac{1}{x-2}$
2. 约分计算：
$=\frac{3}{x-2} - \frac{1}{x-2}$
3. 合并同分母分式：
$=\frac{3-1}{x-2} = \frac{2}{x-2}$
4. 代入$x=-6$求值：
当$x=-6$时，$\frac{2}{-6-2}=-\frac{1}{4}$
【答案】
化简结果为$\frac{2}{x-2}$；求值结果为$-\frac{1}{4}$
【知识点】
分式化简求值、分式混合运算
【点评】
本题考查分式的化简求值，需掌握因式分解、分式乘除及加减运算法则，运算时注意约分与通分的正确应用，代入数值时留意符号运算。
【难度系数】
0.7
10. 如果$a - 3b=0$，那么代数式$(a-\frac{2ab - b^{2}}{a})÷\frac{a^{2}-b^{2}}{a}$的值是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$1$
A
)A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$1$
答案
10. A
解析
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(a-\frac{2ab - b^{2}}{a})÷\frac{a^{2}-b^{2}}{a}\\=&\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a}÷\frac{(a - b)(a + b)}{a}\\=&\frac{(a - b)^{2}}{a}×\frac{a}{(a - b)(a + b)}\\=&\frac{a - b}{a + b}\end{aligned}$
由$a - 3b=0$得$a=3b$，将$a=3b$代入化简后的式子：
$\frac{3b - b}{3b + b}=\frac{2b}{4b}=\frac{1}{2}$
所以代数式的值为$\frac{1}{2}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值、因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题关键是先通过通分、约分将代数式化简，再结合已知条件代入计算，需熟练掌握分式运算规则及因式分解方法。
【难度系数】
0.7
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(a-\frac{2ab - b^{2}}{a})÷\frac{a^{2}-b^{2}}{a}\\=&\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a}÷\frac{(a - b)(a + b)}{a}\\=&\frac{(a - b)^{2}}{a}×\frac{a}{(a - b)(a + b)}\\=&\frac{a - b}{a + b}\end{aligned}$
由$a - 3b=0$得$a=3b$，将$a=3b$代入化简后的式子：
$\frac{3b - b}{3b + b}=\frac{2b}{4b}=\frac{1}{2}$
所以代数式的值为$\frac{1}{2}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值、因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题关键是先通过通分、约分将代数式化简，再结合已知条件代入计算，需熟练掌握分式运算规则及因式分解方法。
【难度系数】
0.7
11. 如图，若$x$为正整数，则表示$\frac{(x + 2)^{2}}{x^{2}+4x + 4}-\frac{1}{x + 1}$的值的点落在(
A.段①
B.段②
C.段③
D.段④
B
)A.段①
B.段②
C.段③
D.段④
答案
11. B
解析
【解析】
1. 先化简原式：
对分母$x^2+4x+4$因式分解得$(x+2)^2$，则$\frac{(x + 2)^{2}}{x^{2}+4x + 4}=\frac{(x+2)^2}{(x+2)^2}=1$（$x$为正整数，$x≠-2$，满足条件）；
原式化简为$1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$。
2. 分析取值范围：
因为$x$为正整数，$x≥1$，则$\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$：
当$x=1$时，$\frac{x}{x+1}=0.5$；
当$x$增大时，$\frac{x}{x+1}$趋近于1但始终小于1；
因此该式的值的范围是$0.5≤\frac{x}{x+1}＜1$，对应数轴上的段②。
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值、完全平方公式、分式基本性质
【点评】
本题考查分式的化简与代数式取值范围的确定，需熟练掌握分式化简方法，结合$x$的正整数条件分析结果区间，明确数轴各段范围是解题关键。
【难度系数】
0.7
1. 先化简原式：
对分母$x^2+4x+4$因式分解得$(x+2)^2$，则$\frac{(x + 2)^{2}}{x^{2}+4x + 4}=\frac{(x+2)^2}{(x+2)^2}=1$（$x$为正整数，$x≠-2$，满足条件）；
原式化简为$1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$。
2. 分析取值范围：
因为$x$为正整数，$x≥1$，则$\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$：
当$x=1$时，$\frac{x}{x+1}=0.5$；
当$x$增大时，$\frac{x}{x+1}$趋近于1但始终小于1；
因此该式的值的范围是$0.5≤\frac{x}{x+1}＜1$，对应数轴上的段②。
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值、完全平方公式、分式基本性质
【点评】
本题考查分式的化简与代数式取值范围的确定，需熟练掌握分式化简方法，结合$x$的正整数条件分析结果区间，明确数轴各段范围是解题关键。
【难度系数】
0.7
12. 已知一辆汽车从甲地到乙地的速度为$V_{1}$，从乙地原路返回到甲地的速度为$V_{2}$，则这辆汽车来回的平均速度为多少？
答案
12. $ \frac{2V_{1}V_{2}}{V_{1}+V_{2}} $
解析
【解析】
设甲乙两地之间的距离为$ s $。
汽车从甲地到乙地的时间$ t_1 = \frac{s}{V_1} $，从乙地返回甲地的时间$ t_2 = \frac{s}{V_2} $。
来回的总路程为$ 2s $，总时间$ t = t_1 + t_2 = \frac{s}{V_1} + \frac{s}{V_2} = \frac{s(V_1+V_2)}{V_1V_2} $。
根据平均速度公式$ \bar{V} = \frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}} $，可得：
$ \bar{V} = \frac{2s}{t} = \frac{2s}{\frac{s(V_1+V_2)}{V_1V_2}} = \frac{2V_1V_2}{V_1+V_2} $。
【答案】
$ \frac{2V_{1}V_{2}}{V_{1}+V_{2}} $
【知识点】
平均速度的计算、路程速度时间的关系
【点评】
本题易出错点为直接取速度的算术平均值，需注意平均速度的定义是总路程与总时间的比值，并非速度的简单平均，解题时需紧扣定义进行推导。
【难度系数】
0.4
设甲乙两地之间的距离为$ s $。
汽车从甲地到乙地的时间$ t_1 = \frac{s}{V_1} $，从乙地返回甲地的时间$ t_2 = \frac{s}{V_2} $。
来回的总路程为$ 2s $，总时间$ t = t_1 + t_2 = \frac{s}{V_1} + \frac{s}{V_2} = \frac{s(V_1+V_2)}{V_1V_2} $。
根据平均速度公式$ \bar{V} = \frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}} $，可得：
$ \bar{V} = \frac{2s}{t} = \frac{2s}{\frac{s(V_1+V_2)}{V_1V_2}} = \frac{2V_1V_2}{V_1+V_2} $。
【答案】
$ \frac{2V_{1}V_{2}}{V_{1}+V_{2}} $
【知识点】
平均速度的计算、路程速度时间的关系
【点评】
本题易出错点为直接取速度的算术平均值，需注意平均速度的定义是总路程与总时间的比值，并非速度的简单平均，解题时需紧扣定义进行推导。
【难度系数】
0.4
