15. 已知实数$a$，$b$，$c$满足$a + b = ab = c$，有下列结论：①若$c ≠ 0$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$；②若$a = 3$，则$b + c = 9$；③若$a = b = c$，则$abc = 0$；④若$a$，$b$，$c$中只有两个数相等，则$a + b + c = 8$.其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)

15. ①③④

【解析】
我们逐个分析每个结论：
①若$c≠0$，则$ab=c≠0$，对$a+b=ab$两边同时除以$ab$，得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，故①正确；
②若$a=3$，代入$a+b=ab$得$3+b=3b$，解得$b=\frac{3}{2}$，则$c=ab=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$b+c=\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6≠9$，故②错误；
③若$a=b=c$，则$2a=a^2=a$，由$a^2=a$得$a=0$或$a=1$，$a=1$时$2a=2≠1=a$不成立，故$a=0$，则$abc=0$，故③正确；
④若$a,b,c$中只有两个数相等，分三种情况：
$a=b≠c$：$2a=a^2=c$，解得$a=0$（此时$c=0$，三数相等，舍去）或$a=2$，则$b=2$，$c=4$，$a+b+c=8$；
$a=c≠b$：$a+b=ab=a$，得$b=0$，则$a=c=0$，三数相等，舍去；
$b=c≠a$：同理得$a=0$，三数相等，舍去；
故只有$a=b=2,c=4$符合，$a+b+c=8$，④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
分式的性质，代数式求值，分类讨论思想
【点评】
本题考查分式运算、代数式求值及分类讨论思想，需对每个结论逐一分析，注意排除不符合“只有两个数相等”的特殊情况，逻辑严谨性要求较高。
【难度系数】
0.6

16. 已知$abc ≠ 0$，且$a + b + c = 0$.求$a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$的值.

16. 解：$ a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} + \frac{b + a}{c} + \frac{b + c}{a} $
∵ $ a + b + c = 0 $
∴ $ a + b = -c $，$ a + c = -b $，$ b + c = -a $．
原式 $ = \frac{-b}{b} + \frac{-c}{c} + \frac{-a}{a} = -3 $．

【解析】
$a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$
$=\frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b}$
$=\frac{a + c}{b} + \frac{b + a}{c} + \frac{b + c}{a}$
∵ $a + b + c = 0$
∴ $a + b = -c$，$a + c = -b$，$b + c = -a$
将上述关系代入化简后的式子：
原式$=\frac{-b}{b} + \frac{-c}{c} + \frac{-a}{a} = -1 -1 -1 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
分式化简求值、整体代入法
【点评】
本题考查分式的化简与求值，核心是通过对原式合理变形，结合已知条件运用整体代入思想简化运算，要求掌握分式运算规则及整体思想的应用。
【难度系数】
0.6