登录
4. 如图，某护城河在 CC'处直角转弯，河宽均为 5 m，A，B 到外河岸的距离都为 5 m，从 A 处到达 B 处，需经过 DD'，EE'两座桥(桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使从 A 处到 B 处所走的路程最短？
答案
1. 将点A沿向南方向平移5米（河宽）得到点A'；
2. 将点B沿向西方向平移5米（河宽）得到点B'；
3. 连接A'、B'，交东西向河段内河岸于D'，交南北向河段内河岸于E'；
4. 过D'作南北方向的桥DD'（D在东西向外河岸），过E'作东西方向的桥EE'（E在南北向外河岸）。
此时从A到B所走路程最短。
2. 将点B沿向西方向平移5米（河宽）得到点B'；
3. 连接A'、B'，交东西向河段内河岸于D'，交南北向河段内河岸于E'；
4. 过D'作南北方向的桥DD'（D在东西向外河岸），过E'作东西方向的桥EE'（E在南北向外河岸）。
此时从A到B所走路程最短。
解析
【分析】
要解决从A到B的最短路径问题，因为桥的长度是固定的（河宽5m），所以我们可以通过平移的方法，把桥的长度先“剥离”出来，将陆地行走的路径转化为两点之间线段最短的问题。具体思路是：把点A向南平移河宽的距离，点B向西平移河宽的距离，这样连接平移后的两点，与内河岸的交点就是桥的一端，再架桥，此时总路程就是两段桥长加上平移后两点连线的长度，根据两点之间线段最短，这样的路径就是最短的。
【解析】
步骤如下：
1. 将点A沿向南方向平移5米（河宽）得到点$A'$；
2. 将点B沿向西方向平移5米（河宽）得到点$B'$；
3. 连接$A'$、$B'$，交东西向河段内河岸于$D'$，交南北向河段内河岸于$E'$；
4. 过$D'$作南北方向的桥$DD'$（$D$在东西向外河岸），过$E'$作东西方向的桥$EE'$（$E$在南北向外河岸）。
此时从A处到B处所走的路程最短。
【答案】
1. 将点A沿向南方向平移5米（河宽）得到点$A'$；
2. 将点B沿向西方向平移5米（河宽）得到点$B'$；
3. 连接$A'$、$B'$，交东西向河段内河岸于$D'$，交南北向河段内河岸于$E'$；
4. 过$D'$作南北方向的桥$DD'$（$D$在东西向外河岸），过$E'$作东西方向的桥$EE'$（$E$在南北向外河岸），此时从A到B所走路程最短。
【知识点】
平移的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题考查利用平移转化最短路径问题，核心是通过平移将固定长度的桥的部分与陆地行走路径分离，把复杂的路径问题转化为“两点之间线段最短”的经典几何问题，需要具备一定的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
要解决从A到B的最短路径问题，因为桥的长度是固定的（河宽5m），所以我们可以通过平移的方法，把桥的长度先“剥离”出来，将陆地行走的路径转化为两点之间线段最短的问题。具体思路是：把点A向南平移河宽的距离，点B向西平移河宽的距离，这样连接平移后的两点，与内河岸的交点就是桥的一端，再架桥，此时总路程就是两段桥长加上平移后两点连线的长度，根据两点之间线段最短，这样的路径就是最短的。
【解析】
步骤如下：
1. 将点A沿向南方向平移5米（河宽）得到点$A'$；
2. 将点B沿向西方向平移5米（河宽）得到点$B'$；
3. 连接$A'$、$B'$，交东西向河段内河岸于$D'$，交南北向河段内河岸于$E'$；
4. 过$D'$作南北方向的桥$DD'$（$D$在东西向外河岸），过$E'$作东西方向的桥$EE'$（$E$在南北向外河岸）。
此时从A处到B处所走的路程最短。
【答案】
1. 将点A沿向南方向平移5米（河宽）得到点$A'$；
2. 将点B沿向西方向平移5米（河宽）得到点$B'$；
3. 连接$A'$、$B'$，交东西向河段内河岸于$D'$，交南北向河段内河岸于$E'$；
4. 过$D'$作南北方向的桥$DD'$（$D$在东西向外河岸），过$E'$作东西方向的桥$EE'$（$E$在南北向外河岸），此时从A到B所走路程最短。
【知识点】
平移的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题考查利用平移转化最短路径问题，核心是通过平移将固定长度的桥的部分与陆地行走路径分离，把复杂的路径问题转化为“两点之间线段最短”的经典几何问题，需要具备一定的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
5. 已知四边相等的四边形是菱形，图①中的菱形 ABCD 与图②中的菱形 EFGH 可以完全重合.
(1) 如果图①经过一次平移后得到图②，那么点 A，B，C，D 的对应点分别是；如果图①经过一次轴对称后得到图②，那么点 A，B，C，D 的对应点分别是；如果图①经过一次旋转后得到图②，那么点 A，B，C，D 的对应点分别是.
(2) 图①、图②关于点 O 成中心对称，请画出对称中心(保留画图痕迹，不写画法).
(3) 写出两个图形成中心对称的一条性质：(可以结合所画图形叙述).
(1) 如果图①经过一次平移后得到图②，那么点 A，B，C，D 的对应点分别是；如果图①经过一次轴对称后得到图②，那么点 A，B，C，D 的对应点分别是；如果图①经过一次旋转后得到图②，那么点 A，B，C，D 的对应点分别是.
(2) 图①、图②关于点 O 成中心对称，请画出对称中心(保留画图痕迹，不写画法).
(3) 写出两个图形成中心对称的一条性质：(可以结合所画图形叙述).
答案
答案略
解析
【分析】
1. 对于(1)：
平移是图形沿直线移动，不改变图形的形状、大小和方向，对应点的顺序与原图形一致，按顶点顺序直接对应即可。
轴对称是图形沿对称轴翻转，翻转后图形顶点顺序反向，需找到每个点关于对称轴的对称点。
旋转是图形绕某点转动一定角度后重合，菱形可通过旋转180°（中心对称）或其他合适角度重合，对应点需满足旋转后位置匹配。
2. 对于(2)：根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的交点，连接两组对应点，其交点即为对称中心。
3. 对于(3)：回忆中心对称的性质，如对应点连线经过对称中心且被平分、图形全等、对应线段平行且相等，任选一条即可。
【解析】
(1) 平移不改变图形方向，点$A,B,C,D$的对应点依次为$\boldsymbol{E,F,G,H}$；
轴对称后图形翻转，顶点顺序反向，对应点依次为$\boldsymbol{G,F,E,H}$（答案不唯一，符合轴对称对应关系即可）；
旋转可通过旋转180°使两菱形重合，对应点依次为$\boldsymbol{G,F,E,H}$（答案不唯一，满足旋转后图形重合即可）。
(2) 画图步骤：连接$A$和$G$，连接$B$和$F$，两条线段的交点即为对称中心$O$（保留两条对应点连线的痕迹，标注交点$O$）。
(3) 中心对称的性质示例：$\boldsymbol{对应点的连线经过对称中心O，且被O平分}$（或“菱形$ABCD$与菱形$EFGH$全等”“对应线段平行且相等”等，合理即可）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{E,F,G,H}$；$\boldsymbol{G,F,E,H}$（答案不唯一）；$\boldsymbol{G,F,E,H}$（答案不唯一）
(2) 画图见解析（连接两组对应点，交点即为对称中心）
(3) 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分（答案不唯一）
【知识点】
1. 平移的性质
2. 轴对称的性质
3. 中心对称的性质
【点评】
本题考查平移、轴对称、旋转（中心对称）的核心性质，需要准确理解三种图形变换的特点，掌握对应点的确定方法、中心对称的作图技巧，注重对图形变换概念的理解与实际应用。
【难度系数】
0.7
1. 对于(1)：
平移是图形沿直线移动，不改变图形的形状、大小和方向，对应点的顺序与原图形一致，按顶点顺序直接对应即可。
轴对称是图形沿对称轴翻转，翻转后图形顶点顺序反向，需找到每个点关于对称轴的对称点。
旋转是图形绕某点转动一定角度后重合，菱形可通过旋转180°（中心对称）或其他合适角度重合，对应点需满足旋转后位置匹配。
2. 对于(2)：根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的交点，连接两组对应点，其交点即为对称中心。
3. 对于(3)：回忆中心对称的性质，如对应点连线经过对称中心且被平分、图形全等、对应线段平行且相等，任选一条即可。
【解析】
(1) 平移不改变图形方向，点$A,B,C,D$的对应点依次为$\boldsymbol{E,F,G,H}$；
轴对称后图形翻转，顶点顺序反向，对应点依次为$\boldsymbol{G,F,E,H}$（答案不唯一，符合轴对称对应关系即可）；
旋转可通过旋转180°使两菱形重合，对应点依次为$\boldsymbol{G,F,E,H}$（答案不唯一，满足旋转后图形重合即可）。
(2) 画图步骤：连接$A$和$G$，连接$B$和$F$，两条线段的交点即为对称中心$O$（保留两条对应点连线的痕迹，标注交点$O$）。
(3) 中心对称的性质示例：$\boldsymbol{对应点的连线经过对称中心O，且被O平分}$（或“菱形$ABCD$与菱形$EFGH$全等”“对应线段平行且相等”等，合理即可）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{E,F,G,H}$；$\boldsymbol{G,F,E,H}$（答案不唯一）；$\boldsymbol{G,F,E,H}$（答案不唯一）
(2) 画图见解析（连接两组对应点，交点即为对称中心）
(3) 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分（答案不唯一）
【知识点】
1. 平移的性质
2. 轴对称的性质
3. 中心对称的性质
【点评】
本题考查平移、轴对称、旋转（中心对称）的核心性质，需要准确理解三种图形变换的特点，掌握对应点的确定方法、中心对称的作图技巧，注重对图形变换概念的理解与实际应用。
【难度系数】
0.7
6. 封闭的中心对称图形都可以被一条过对称中心的直线分成面积相等的两部分. 例如，经过圆心的直线把圆分成面积相等的两部分(图①). 请在图②、图③中分别画一条直线把它们分成面积相等的两部分，其中图②是平行四边形，图③中的∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠EFD = 90°.(图③至少用两种方法)
答案
图②（平行四边形）
连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，交于点O，过点O画任意一条直线（如直线AC）。
图③（多直角多边形）
方法一：将图形分割为两个矩形（如矩形ABFE和矩形EFCD），分别取两矩形对角线交点，连接两交点得直线。
方法二：将图形分割为另外两个矩形（如矩形AEFD和矩形BCDF），分别取两矩形对角线交点，连接两交点得直线。
连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，交于点O，过点O画任意一条直线（如直线AC）。
图③（多直角多边形）
方法一：将图形分割为两个矩形（如矩形ABFE和矩形EFCD），分别取两矩形对角线交点，连接两交点得直线。
方法二：将图形分割为另外两个矩形（如矩形AEFD和矩形BCDF），分别取两矩形对角线交点，连接两交点得直线。
解析
【分析】
首先，我们要利用题目给出的核心结论：过封闭中心对称图形对称中心的直线，能将图形分成面积相等的两部分。
对于图②的平行四边形，它本身是中心对称图形，第一步需找到它的对称中心——平行四边形对角线的交点，过这个点的任意直线都满足平分面积的要求；
对于图③的多边形，它不是中心对称图形，但我们可以把它拆分成两个中心对称图形（矩形），因为矩形是中心对称图形，过矩形对称中心的直线能平分矩形面积，所以分别找到这两个矩形的对称中心，连接这两个点的直线就能平分整个图形的面积，通过不同的矩形拆分方式可得到两种不同的直线。
【解析】
图②（平行四边形$ABCD$）
1. 连接平行四边形的两条对角线$AC$和$BD$，两对角线交于点$O$（$O$为平行四边形的对称中心）；
2. 过点$O$作任意一条直线（如直线$AC$、$BD$或过$O$的任意斜线），该直线即可将平行四边形分成面积相等的两部分。
图③（多直角多边形）
方法一
1. 将该多边形分割为矩形$ABFE$和矩形$FCDG$（$G$为$D$向左作垂线与$BC$的交点）；
2. 分别找出矩形$ABFE$的对角线交点$O_1$，矩形$FCDG$的对角线交点$O_2$；
3. 连接$O_1$、$O_2$，直线$O_1O_2$可将原图形分成面积相等的两部分。
方法二
1. 将该多边形分割为矩形$AEHD$和矩形$BCHE$（$H$为$E$向下作垂线与$BC$的交点）；
2. 分别找出矩形$AEHD$的对角线交点$O_3$，矩形$BCHE$的对角线交点$O_4$；
3. 连接$O_3$、$O_4$，直线$O_3O_4$可将原图形分成面积相等的两部分。
【答案】
图②：过平行四边形对角线交点的任意直线；
图③：方法一：连接分割为矩形$ABFE$与矩形$FCDG$的对角线交点的直线；方法二：连接分割为矩形$AEHD$与矩形$BCHE$的对角线交点的直线（或其他合理的两种方法）。
【知识点】
中心对称图形性质，矩形对称性，图形面积分割
【点评】
本题考查中心对称图形性质的实际应用，需要学生掌握中心对称图形的核心特征，同时具备将非中心对称图形转化为中心对称图形组合的转化思维，灵活运用图形对称性解决面积分割问题。
【难度系数】
0.6
首先，我们要利用题目给出的核心结论：过封闭中心对称图形对称中心的直线，能将图形分成面积相等的两部分。
对于图②的平行四边形，它本身是中心对称图形，第一步需找到它的对称中心——平行四边形对角线的交点，过这个点的任意直线都满足平分面积的要求；
对于图③的多边形，它不是中心对称图形，但我们可以把它拆分成两个中心对称图形（矩形），因为矩形是中心对称图形，过矩形对称中心的直线能平分矩形面积，所以分别找到这两个矩形的对称中心，连接这两个点的直线就能平分整个图形的面积，通过不同的矩形拆分方式可得到两种不同的直线。
【解析】
图②（平行四边形$ABCD$）
1. 连接平行四边形的两条对角线$AC$和$BD$，两对角线交于点$O$（$O$为平行四边形的对称中心）；
2. 过点$O$作任意一条直线（如直线$AC$、$BD$或过$O$的任意斜线），该直线即可将平行四边形分成面积相等的两部分。
图③（多直角多边形）
方法一
1. 将该多边形分割为矩形$ABFE$和矩形$FCDG$（$G$为$D$向左作垂线与$BC$的交点）；
2. 分别找出矩形$ABFE$的对角线交点$O_1$，矩形$FCDG$的对角线交点$O_2$；
3. 连接$O_1$、$O_2$，直线$O_1O_2$可将原图形分成面积相等的两部分。
方法二
1. 将该多边形分割为矩形$AEHD$和矩形$BCHE$（$H$为$E$向下作垂线与$BC$的交点）；
2. 分别找出矩形$AEHD$的对角线交点$O_3$，矩形$BCHE$的对角线交点$O_4$；
3. 连接$O_3$、$O_4$，直线$O_3O_4$可将原图形分成面积相等的两部分。
【答案】
图②：过平行四边形对角线交点的任意直线；
图③：方法一：连接分割为矩形$ABFE$与矩形$FCDG$的对角线交点的直线；方法二：连接分割为矩形$AEHD$与矩形$BCHE$的对角线交点的直线（或其他合理的两种方法）。
【知识点】
中心对称图形性质，矩形对称性，图形面积分割
【点评】
本题考查中心对称图形性质的实际应用，需要学生掌握中心对称图形的核心特征，同时具备将非中心对称图形转化为中心对称图形组合的转化思维，灵活运用图形对称性解决面积分割问题。
【难度系数】
0.6
