例 1 已知$\begin{cases}x = 1,\\y = - 2\end{cases}$是方程 $ 2x + my = 1 $ 的解，求 $ m $ 的值.

将$\begin{cases}x = 1\\y = - 2\end{cases}$代入方程$2x + my = 1$，得：
$2×1 + m×(-2) = 1$
$2 - 2m = 1$
$-2m = 1 - 2$
$-2m = -1$
$m = \frac{1}{2}$
结论：$m = \frac{1}{2}$

【分析】
因为方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，所以我们可以将已知的$x$和$y$的值代入给定的方程，这样就能得到一个只含有未知数$m$的一元一次方程，接下来解这个一元一次方程，即可求出$m$的值。
【解析】
将$\begin{cases}x = 1\\y = - 2\end{cases}$代入方程$2x + my = 1$，得：
$2×1 + m×(-2) = 1$
化简得：$2 - 2m = 1$
移项得：$-2m = 1 - 2$
计算得：$-2m = -1$
系数化为1得：$m = \frac{1}{2}$
【答案】
$m = \frac{1}{2}$
【知识点】
二元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题主要考查二元一次方程解的定义，核心思路是利用方程的解满足方程这一性质，通过代入转化为一元一次方程求解，题目基础，步骤清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.9

例 2 七年级（1）班为了奖励优秀学生，购买水笔和笔记本共用去 60 元，每支水笔的价格为 5 元，每本笔记本的价格为 3 元.设买水笔 $ x $ 支、笔记本 $ y $ 本.
（1）列出关于 $ x $，$ y $ 的方程；
（2）用列表格的方式，列出所买的水笔支数、笔记本本数的所有可能情况.

（1）根据题意，列出方程为：$5x + 3y = 60$。
（2）
| 水笔支数 $x$ | 笔记本本数 $y$ |
|---------------|-----------------|
| 0 | 20 |
| 3 | 15 |
| 6 | 10 |
| 9 | 5 |
| 12 | 0 |

【分析】
（1）解题思路：根据“购买水笔的总费用+购买笔记本的总费用=总共花费的60元”列方程。水笔每支5元，买$x$支的总费用是$5x$元；笔记本每本3元，买$y$本的总费用是$3y$元，两者相加等于60元，即可列出方程。
（2）解题思路：因为$x$和$y$表示购买的数量，所以$x$、$y$必须是非负整数。将方程变形为$y=\frac{60-5x}{3}$，要保证$y$是非负整数，那么$60-5x$必须是3的倍数且大于等于0，由此找出所有符合条件的$x$值，再计算对应的$y$值，最后列表呈现。
【解析】
（1）根据购买水笔与笔记本的总费用之和为60元，可得方程：
$5x + 3y = 60$
（2）由于$x$、$y$为非负整数，对$5x + 3y = 60$变形得$y=\frac{60-5x}{3}$，需满足$60-5x$是3的非负整数倍，依次计算：
当$x=0$时，$y=\frac{60-0}{3}=20$；
当$x=3$时，$y=\frac{60-15}{3}=15$；
当$x=6$时，$y=\frac{60-30}{3}=10$；
当$x=9$时，$y=\frac{60-45}{3}=5$；
当$x=12$时，$y=\frac{60-60}{3}=0$；
列表如下：
| 水笔支数 $x$ | 笔记本本数 $y$ |
|---------------|-----------------|
| 0 | 20 |
| 3 | 15 |
| 6 | 10 |
| 9 | 5 |
| 12 | 0 |
【答案】
（1）$5x + 3y = 60$；
（2）
| 水笔支数 $x$ | 笔记本本数 $y$ |
|---------------|-----------------|
| 0 | 20 |
| 3 | 15 |
| 6 | 10 |
| 9 | 5 |
| 12 | 0 |
【知识点】
二元一次方程列写、二元一次方程非负整数解
【点评】
本题主要考查二元一次方程在实际购物问题中的应用，重点在于明确实际问题中未知数的取值需为非负整数，通过分析数量关系列方程，并结合实际意义求解，提升学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.8

1. 填空题：
(1)每个甲物品的质量是 $ 4\ \mathrm{kg} $，每个乙物品的质量是 $ 7\ \mathrm{kg} $.现有 $ x $ 个甲物品和 $ y $ 个乙物品，质量共是 $ 76\ \mathrm{kg} $.
① 列出关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程：.
② 已知 $ x = 12 $，则 $ y = $.
③ 若乙物品有 8 个，则甲物品有个.
(2)4 辆小卡车和 5 辆大卡车一次能运货 $ 37\ \mathrm{t} $，设每辆小卡车每次运货 $ x\ \mathrm{t} $，每辆大卡车每次运货 $ y\ \mathrm{t} $.
① 列出关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程：.
② 已知 $ x = 3 $，则 $ y = $.
③ 若每辆大卡车每次运货 $ 5\ \mathrm{t} $，则每辆小卡车每次运货 $ \mathrm{t} $.
(3)已知 4 组数值：①$\begin{cases}x = - 2,\\y = 6,\end{cases}$②$\begin{cases}x = 3,\\y = 4,\end{cases}$③$\begin{cases}x = 4,\\y = 3,\end{cases}$④$\begin{cases}x = 6,\\y = - 2.\end{cases}$
其中，是二元一次方程 $ 2x + y = 10 $ 的解(填写序号).
(4)二元一次方程 $ x - 2y = 1 $ 的解有无数个，请写出这个方程的 3 个解：，，.

(1)①$4x + 7y = 76$；②4；③5
(2)①$4x + 5y = 37$；②5；③3
(3)②④
(4)$\begin{cases}x = 1\\y = 0\end{cases}$，$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$，$\begin{cases}x = -1\\y = -1\end{cases}$（答案不唯一）

(1)① 甲物品总质量为$4x$kg，乙物品总质量为$7y$kg，总质量共76kg，方程为$4x + 7y = 76$。
② 当$x = 12$时，$4×12 + 7y = 76$，$48 + 7y = 76$，$7y = 28$，$y = 4$。
③ 当$y = 8$时，$4x + 7×8 = 76$，$4x + 56 = 76$，$4x = 20$，$x = 5$。
(2)① 4辆小卡车运货$4x$t，5辆大卡车运货$5y$t，总运货37t，方程为$4x + 5y = 37$。
② 当$x = 3$时，$4×3 + 5y = 37$，$12 + 5y = 37$，$5y = 25$，$y = 5$。
③ 当$y = 5$时，$4x + 5×5 = 37$，$4x + 25 = 37$，$4x = 12$，$x = 3$。
(3)①$2×(-2) + 6 = -4 + 6 = 2 ≠ 10$；②$2×3 + 4 = 6 + 4 = 10$；③$2×4 + 3 = 8 + 3 = 11 ≠ 10$；④$2×6 + (-2) = 12 - 2 = 10$，所以解为②④。
(4)令$y = 0$，则$x = 1$，得$\begin{cases}x = 1\\y = 0\end{cases}$；令$y = 1$，则$x = 3$，得$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$；令$y = -1$，则$x = -1$，得$\begin{cases}x = -1\\y = -1\end{cases}$（答案不唯一）。