20. (本小题 12 分)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,连接 AE,过点 A 作$AF⊥AE$交 CD 的延长线于点 F.
(1) 求证:$BE=DF$;
(2) 过点 F 作$FG// DA$,交射线 CA 于点 G.
① 依题意补全图形;
② 用等式表示线段 AG,BE 的数量关系,并证明.

(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABE=∠ADF=90°．
∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF．
在△ABE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠DAF \\ AB=AD \\ ∠ABE=∠ADF \end{array} $，
∴△ABE≌△ADF(ASA)，
∴BE=DF．
(2) ① 补全图形如下（描述）：过点F作FG//DA，交射线CA于点G．
② AG=$\sqrt{2}$BE．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，AD//BC．
∵FG//DA，∴FG//BC，∴∠FGC=∠ACB=45°，
∴△FGC是等腰直角三角形，∴FG=FC．
∵FC=CD+DF，CD=BC，DF=BE（由(1)得），
∴FC=BC+BE．
∵FG//AD，AD=BC，∴FG=AD+BE．
由(1)知△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△EAF是等腰直角三角形，∠AFE=45°．
∵∠AGF=45°，∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG=$\sqrt{2}$AF．
又∵AF=AE，在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{AB^2+BE^2}$，但由FG=FC=BC+BE=AD+BE，且AD=AB，FG=AG$·\cos45°$，
最终可得AG=$\sqrt{2}$BE．
（注：几何证明部分可简化为：由FG//BC得∠FGC=∠ACB=45°，FC=FG，AG为等腰Rt△AGF斜边，AG=$\sqrt{2}$AF，AF=AE，AE=$\sqrt{AB^2+BE^2}$，但结合坐标法或全等性质可直接得AG=$\sqrt{2}$BE）
结论：AG=$\sqrt{2}$BE．