12. 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村 $ A $ 和李庄 $ B $ 送水，已知张村 $ A $、李庄 $ B $ 到河边的距离分别为 $ 2 \mathrm{ km} $ 和 $ 7 \mathrm{ km} $，且张、李两村庄相距 $ 13 \mathrm{ km} $。
(1) 水泵站建在什么地方可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置。
(2) 如果铺设水管的工程费用为每千米 $ 20000 $ 元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元。
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12. 解:(1)如图 1，作点 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A'$，连接 $A'B$，$A'B$ 与 $l$ 的交点为 $P$，点 $P$ 即为水泵站的位置。

(2)如图 2，过点 $B$ 作直线 $l$ 的垂线，过点 $A'$ 作直线 $l$ 的平行线，
设这两条直线交于点 $C$，则 $ ∠ C = 90°$。
又过点 $A$ 作 $AE⊥ BC$ 于点 $E$，连接 $AB$，$AP$。
依题意，得 $BE = 5\mathrm{ km}$，$AB = 13\mathrm{ km}$，
$\therefore$ 由勾股定理，得 $AE^{2}=AB^{2}-BE^{2}=144$。
$\therefore AE = 12\mathrm{ km}$，则 $A'C = AE = 12\mathrm{ km}$。
在 $ \mathrm{Rt}△ BA'C$ 中，
$\because BC = 2 + 7 = 9(\mathrm{km})$，$A'C = 12\mathrm{ km}$，
$\therefore A'B^{2}=A'C^{2}+BC^{2}=225$。
$\therefore A'B = 15\mathrm{ km}$。
$\because PA = PA'$，
$\therefore PA + PB = PA' + PB = A'B = 15\mathrm{ km}$。
$\because$ 铺设水管的工程费用为每千米 20 000 元，
$\therefore$ 最节省的铺设水管的费用为 $20\ 000× 15 = 300\ 000$（元）。
答:最节省的铺设水管的费用为 300 000 元。

1. 如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是 100cm，15cm 和 10cm，A，B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想去点 B 吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点 B 的最短距离是()。
A.$ 25 \mathrm{ cm} $
B.$ 125 \mathrm{ cm} $
C.$ 100 \mathrm{ cm} $
D.$ 10 \mathrm{ cm} $

1. B

2. 如图，圆柱形玻璃杯的高为 $ 6 \mathrm{ cm} $，底面周长为 $ 16 \mathrm{ cm} $，在杯内离杯底 $ 2 \mathrm{ cm} $ 的点 $ C $ 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 $ 2 \mathrm{ cm} $ 与蜂蜜相对的点 $ A $ 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为()。

A.$ 6 \mathrm{ cm} $
B.$ 8 \mathrm{ cm} $
C.$ 10 \mathrm{ cm} $
D.$ 12 \mathrm{ cm} $

2. C