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8. (2024，福建，14) 如图，正方形 $ABCD$ 的面积为 $4$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别为边 $AB$，$BC$，$CD$，$AD$ 的中点，则四边形 $EFGH$ 的面积为
]
2
.]
答案
8. 2
9. 如图，边长为 $6$ 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 $S_{1}$，$S_{2}$，则 $S_{1}+S_{2}$ 的值为
17
.答案
9. 17
10. (2023，龙东，13) 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，请添加一个条件：
$AB = BC$ 或 $AC⊥ BD$（答案不唯一）
，使矩形 $ABCD$ 是正方形(填一个即可).答案
10. $AB = BC$ 或 $AC⊥ BD$（答案不唯一）
11. 如图，等边三角形 $AEF$ 的顶点 $E$，$F$ 在矩形 $ABCD$ 的边 $BC$，$CD$ 上，且 $∠ CEF = 45°$.
求证：矩形 $ABCD$ 是正方形.
求证：矩形 $ABCD$ 是正方形.
答案
11. 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴$∠ B=∠ D=∠ C = 90°$．
∵$△ AEF$ 是等边三角形，
∴$AE = AF$，$∠ AEF=∠ AFE = 60°$．
∵$∠ CEF = 45°$，
∴$∠ CFE=∠ CEF = 45°$．
∴$∠ AFD=∠ AEB = 180°-45°-60°=75°$．
∴$△ AEB≌△ AFD(AAS)$．
∴$AB = AD$．
∴矩形 $ABCD$ 是正方形．
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴$∠ B=∠ D=∠ C = 90°$．
∵$△ AEF$ 是等边三角形，
∴$AE = AF$，$∠ AEF=∠ AFE = 60°$．
∵$∠ CEF = 45°$，
∴$∠ CFE=∠ CEF = 45°$．
∴$∠ AFD=∠ AEB = 180°-45°-60°=75°$．
∴$△ AEB≌△ AFD(AAS)$．
∴$AB = AD$．
∴矩形 $ABCD$ 是正方形．
12. (2023，十堰，20) 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，分别以点 $B$，$C$ 为圆心，$\frac{1}{2}AC$ 的长、$\frac{1}{2}BD$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，连接 $BP$，$CP$.
(1) 试判断四边形 $BPCO$ 的形状，并说明理由；
(2) 请说明当 $□ ABCD$ 的对角线满足什么条件时，四边形 $BPCO$ 是正方形.
]
(1) 试判断四边形 $BPCO$ 的形状，并说明理由；
(2) 请说明当 $□ ABCD$ 的对角线满足什么条件时，四边形 $BPCO$ 是正方形.
]答案
12. 解：(1)四边形 $BPCO$ 是平行四边形．
理由如下：
∵$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，
∴$AO = OC$，$BO = OD$．
∵分别以点 $B$，$C$ 为圆心，$\frac{1}{2}AC$ 的长、$\frac{1}{2}BD$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，
∴$BP=\frac{1}{2}AC = OC$，$CP=\frac{1}{2}BD = OB$．
∴四边形 $BPCO$ 是平行四边形．
(2)当 $AC⊥ BD$ 且 $AC = BD$ 时，四边形 $BPCO$ 是正方形．
∵$AC⊥ BD$，
∴$∠ BOC = 90°$．
∵$AC = BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，
∴$OB = OC$．
∵四边形 $BPCO$ 为平行四边形，
∴四边形 $BPCO$ 为正方形．
理由如下：
∵$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，
∴$AO = OC$，$BO = OD$．
∵分别以点 $B$，$C$ 为圆心，$\frac{1}{2}AC$ 的长、$\frac{1}{2}BD$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，
∴$BP=\frac{1}{2}AC = OC$，$CP=\frac{1}{2}BD = OB$．
∴四边形 $BPCO$ 是平行四边形．
(2)当 $AC⊥ BD$ 且 $AC = BD$ 时，四边形 $BPCO$ 是正方形．
∵$AC⊥ BD$，
∴$∠ BOC = 90°$．
∵$AC = BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，
∴$OB = OC$．
∵四边形 $BPCO$ 为平行四边形，
∴四边形 $BPCO$ 为正方形．
