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1. 已知 $□ ABCD$，对角线分别为 $AC$，$BD$，请再从以下四个条件① $∠ ABC = 90°$，② $AC = BD$，③ $AC⊥ BD$，④ $AB = BC$ 中，任选两个作为补充条件，使得四边形 $ABCD$ 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
A
).A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
答案
1. A
2. (2025，深圳，8) 如图，将正方形 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠，使得点 $A$ 与对角线的交点 $O$ 重合，$EF$ 为折痕，则 $\frac{EF}{CG}$ 的值为(
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
]
D
).A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
]答案
2. D 【提示】先判断四边形 $AEOF$ 是正方形，进而得 $EF=\frac{1}{2}AC$，$CG=\frac{3}{4}AC$，即可解决问题．
3. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$AE = MN$，$∠ DAE = 35°$，则 $∠ ANM$ 的度数为.
答案
55
解析
在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=90°。过点M作MH⊥AD于H，则MH=AB=AD。
∵AE=MN，∠D=∠MHN=90°，AD=MH，
∴Rt△ADE≌Rt△NHM（HL）。
∴∠DAE=∠HMN=35°。
在Rt△NHM中，∠HNM=90°-∠HMN=90°-35°=55°，即∠ANM=55°。
∵AE=MN，∠D=∠MHN=90°，AD=MH，
∴Rt△ADE≌Rt△NHM（HL）。
∴∠DAE=∠HMN=35°。
在Rt△NHM中，∠HNM=90°-∠HMN=90°-35°=55°，即∠ANM=55°。
4. 如图，$AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，垂足分别是 $E$，$F$. 当 $△ ABC$ 满足时，四边形 $AEDF$ 是正方形.
答案
∠BAC=90°
解析
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线性质），∠AED=∠AFD=90°。若∠BAC=90°，则∠EAF=90°，∴四边形AEDF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。又∵DE=DF，∴矩形AEDF是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
5. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$，$DE// AB$，$DF// AC$.
(1) 试判断四边形 $AFDE$ 的形状，并说明理由；
(2) 若 $∠ BAC = 90°$，且 $AD = 2\sqrt{2}$，求四边形 $AFDE$ 的面积.
]
(1) 试判断四边形 $AFDE$ 的形状，并说明理由；
(2) 若 $∠ BAC = 90°$，且 $AD = 2\sqrt{2}$，求四边形 $AFDE$ 的面积.
]答案
(1)菱形；(2)4
解析
(1) 四边形AFDE是菱形。理由：∵DE//AB，DF//AC，∴四边形AFDE是平行四边形。∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD。∵DF//AC，∴∠FDA=∠EAD（内错角相等），∴∠FAD=∠FDA，∴AF=FD，∴平行四边形AFDE是菱形。
(2) ∵∠BAC=90°，DF//AC，∴∠AFD=∠BAC=90°（同位角相等）。∵四边形AFDE是菱形，且有一个角为直角，∴四边形AFDE是正方形。设正方形边长为a，对角线AD=2√2，由勾股定理得a²+a²=(2√2)²，即2a²=8，a²=4，∴四边形AFDE的面积为4。
(2) ∵∠BAC=90°，DF//AC，∴∠AFD=∠BAC=90°（同位角相等）。∵四边形AFDE是菱形，且有一个角为直角，∴四边形AFDE是正方形。设正方形边长为a，对角线AD=2√2，由勾股定理得a²+a²=(2√2)²，即2a²=8，a²=4，∴四边形AFDE的面积为4。
