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二、填空题
1. 如图7，△ABC中，MN//BC，则BM∶CN=AM∶，AB∶AM=∶AN.
1. 如图7，△ABC中，MN//BC，则BM∶CN=AM∶，AB∶AM=∶AN.
答案
解：
∵MN//BC，
∴△AMN∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$，
由比例的性质变形得：$\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{CN}$，即$\frac{BM}{CN}=\frac{AM}{AN}$；
由△AMN∽△ABC的对应边成比例得：$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$。
综上，答案依次为：$\boldsymbol{AN}$；$\boldsymbol{AC}$。
∵MN//BC，
∴△AMN∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$，
由比例的性质变形得：$\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{CN}$，即$\frac{BM}{CN}=\frac{AM}{AN}$；
由△AMN∽△ABC的对应边成比例得：$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$。
综上，答案依次为：$\boldsymbol{AN}$；$\boldsymbol{AC}$。
2. 如图8，已知DE//BC，EF//AB，AD∶DB=2∶3，BC=20 cm，则BF=cm.
答案
8
解析
1. 由$DE// BC$，根据平行线分线段成比例，得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$，因此$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$。
2. 因为$EF// AB$，所以$\frac{BF}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$。
3. 将$BC=20\ \mathrm{cm}$代入，计算得$BF=20×\frac{2}{5}=8\ \mathrm{cm}$。
2. 因为$EF// AB$，所以$\frac{BF}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$。
3. 将$BC=20\ \mathrm{cm}$代入，计算得$BF=20×\frac{2}{5}=8\ \mathrm{cm}$。
3. 如图9，在△ABC中，DE//BC，AD∶CD=1∶3，BE=6 cm，则AE=cm.
答案
2
解析
因为$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{CD}$。已知$AD:CD=1:3$，$BE=6\ \mathrm{cm}$，代入得$\frac{AE}{6}=\frac{1}{3}$，解得$AE=2\ \mathrm{cm}$。
4. 如图10，在正方形网格上的三角形①②③中，与△ABC相似的三角形有(填序号).
答案
①②
解析
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各三角形的三边长：
△ABC的三边长：$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{13}$。
三角形①的三边长：$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与△ABC三边对应成比例，故相似。
三角形②的三边长：$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{5}$，$2\sqrt{13}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与△ABC三边对应成比例，故相似。
三角形③的三边长：$\sqrt{2}$，$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$，三边比与△ABC不相等，故不相似。
综上，与△ABC相似的三角形是①②。
△ABC的三边长：$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{13}$。
三角形①的三边长：$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与△ABC三边对应成比例，故相似。
三角形②的三边长：$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{5}$，$2\sqrt{13}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与△ABC三边对应成比例，故相似。
三角形③的三边长：$\sqrt{2}$，$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$，三边比与△ABC不相等，故不相似。
综上，与△ABC相似的三角形是①②。
5. 如图11，AB，CD相交于点O，且AC//DB，AO∶BO=1∶3，BD=6 cm，则AC=cm.
答案
2
解析
因为AC//DB，所以∠A=∠B，∠C=∠D，故△AOC∽△BOD。根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AO}{BO}=\frac{AC}{BD}$。已知$AO:BO=1:3$，$BD=6\ \mathrm{cm}$，代入得$\frac{1}{3}=\frac{AC}{6}$，解得$AC=2\ \mathrm{cm}$。
6. 如图12，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且$AE=\frac{1}{4}AB$，连接EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC∶CD=.
答案
2∶1
解析
过点C作CF//AB，交ED于点F。
∵M是AC中点，∴AM=CM。
在△AEM和△CFM中，∠A=∠MCF，AM=CM，∠AME=∠CMF，
∴△AEM≌△CFM（ASA），∴AE=CF。
∵AE=$\frac{1}{4}$AB，∴BE=AB-AE=3AE，即CF=$\frac{1}{3}$BE。
∵CF//AB，∴△DCF∽△DBE，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{CF}{BE}=\frac{1}{3}$，即BD=3CD。
又∵BD=BC+CD，∴BC+CD=3CD，得BC=2CD，
∴BC∶CD=2∶1。
∵M是AC中点，∴AM=CM。
在△AEM和△CFM中，∠A=∠MCF，AM=CM，∠AME=∠CMF，
∴△AEM≌△CFM（ASA），∴AE=CF。
∵AE=$\frac{1}{4}$AB，∴BE=AB-AE=3AE，即CF=$\frac{1}{3}$BE。
∵CF//AB，∴△DCF∽△DBE，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{CF}{BE}=\frac{1}{3}$，即BD=3CD。
又∵BD=BC+CD，∴BC+CD=3CD，得BC=2CD，
∴BC∶CD=2∶1。
三、解答题
1. 如图13，DE//BC，且AD=4，BD=6，DE=3. 求BC的长.
1. 如图13，DE//BC，且AD=4，BD=6，DE=3. 求BC的长.
答案
解：
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
∵ AD=4，BD=6，
∴ AB=AD+BD=4+6=10。
将AD=4，AB=10，DE=3代入比例式，得
$\frac{4}{10}=\frac{3}{BC}$，
解得$BC=\frac{10×3}{4}=7.5$。
答：BC的长为7.5。
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
∵ AD=4，BD=6，
∴ AB=AD+BD=4+6=10。
将AD=4，AB=10，DE=3代入比例式，得
$\frac{4}{10}=\frac{3}{BC}$，
解得$BC=\frac{10×3}{4}=7.5$。
答：BC的长为7.5。
