10. 如图，在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，点$E$，$F$，$G$，$H$分别是$AD$，$OA$，$BC$，$OC$的中点，连结$EF$，$FG$，$GH$，$HE$。
（1）求证：四边形$EFGH$是平行四边形。
（2）当$∠ ACB$等于多少度时，四边形$EFGH$是矩形？并说明理由。

10. （1）因为 $ E $，$ F $ 分别是 $ AD $，$ OA $ 的中点，所以 $ EF // BD $，$ EF = \frac{1}{2}OD $。同理，$ GH // BD $，$ GH = \frac{1}{2}OB $。因为四边形 $ ABCD $ 是矩形，所以 $ OD = OB $。所以 $ EF // GH $，$ EF = GH $，四边形 $ EFGH $ 是平行四边形。
（2）当 $ ∠ ACB = 30^{\circ} $ 时，四边形 $ EFGH $ 是矩形。理由如下：连结 $ EG $。因为 $ F $，$ H $ 分别是 $ OA $，$ OC $ 的中点，所以 $ FH = \frac{1}{2}AC $。因为 $ E $，$ G $ 分别是 $ AD $，$ BC $ 的中点，所以 $ EG = AB $。因为 $ ∠ ACB = 30^{\circ} $，所以 $ AB = \frac{1}{2}AC $。所以 $ FH = EG $。因为四边形 $ EFGH $ 是平行四边形，所以四边形 $ EFGH $ 是矩形。

11. 如图，正方形$ABCD$的边长为$6$，点$E$，$F$分别在边$BC$，$DA$上。将正方形沿直线$EF$折叠，使点$B$落在边$CD$上的点$N$处，点$A$落在点$M$处。
（1）如图①，当$∠ NBC = 30^{\circ}$时，求$EF$的长。
（2）如图②，$P$为$MN$的中点，连结$PB$。
①当$CN = 2$时，求$PB$的长。
②求$PB + EF$的最小值。

11. （1）由正方形 $ ABCD $，$ EF ⊥ BN $，可得 $ EF = BN $。因为 $ ∠ NBC = 30^{\circ} $，$ BC = 6 $，所以 $ EF = BN = 4\sqrt{3} $。
（2）①取 $ AB $ 的中点 $ Q $，连结 $ QN $，则有 $ PB = QN = \sqrt{(3 - 2)^2 + 6^2} = \sqrt{37} $。
② $ PB + EF = BN + QN ≥ \sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17} $。