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6. 已知：如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$O$是斜边$AB$的中点，$CE// AB$，$AE// OC$。求证：四边形$AECO$是菱形。
答案
6. 由 $ CE // AB $，$ AE // OC $，得四边形 $ AECO $ 是平行四边形。因为 $ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ O $ 是斜边 $ AB $ 的中点，所以 $ OC = \frac{1}{2}AB = OA $，所以四边形 $ AECO $ 是菱形。
解析
证明：
∵ $ CE // AB $，$ AE // OC $，
∴ 四边形 $ AECO $ 是平行四边形。
∵ 在 $ Rt△ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ O $ 是斜边 $ AB $ 的中点，
∴ $ OC = \frac{1}{2}AB = OA $，
∴ 平行四边形 $ AECO $ 是菱形。
∵ $ CE // AB $，$ AE // OC $，
∴ 四边形 $ AECO $ 是平行四边形。
∵ 在 $ Rt△ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ O $ 是斜边 $ AB $ 的中点，
∴ $ OC = \frac{1}{2}AB = OA $，
∴ 平行四边形 $ AECO $ 是菱形。
7. 如图，四边形$ABCD$是菱形，$CE⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$E$，$CF⊥ AD$，交$AD$的延长线于点$F$。请你猜想$CE$和$CF$的大小关系，并证明你的猜想。
答案
7. 连结 $ AC $。因为四边形 $ ABCD $ 是菱形，所以 $ AC $ 平分 $ ∠ BAD $。因为 $ CE ⊥ AB $，$ CF ⊥ AD $，所以 $ CE = CF $。
解析
证明：连结$AC$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC$平分$∠ BAD$。
因为$CE ⊥ AB$，$CF ⊥ AD$，所以$CE = CF$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC$平分$∠ BAD$。
因为$CE ⊥ AB$，$CF ⊥ AD$，所以$CE = CF$。
8. 把一张四边形纸片分别进行如下操作，其结果能判定这个四边形是正方形的是(
A.沿一条对角线所在直线折叠，折痕两旁部分能互相重合
B.沿一组对边的中点所在直线折叠，折痕两旁部分能互相重合
C.绕对角线交点旋转$90^{\circ}$，该纸片能与自身重合
D.绕对角线交点旋转$180^{\circ}$，该纸片能与自身重合
C
)。A.沿一条对角线所在直线折叠，折痕两旁部分能互相重合
B.沿一组对边的中点所在直线折叠，折痕两旁部分能互相重合
C.绕对角线交点旋转$90^{\circ}$，该纸片能与自身重合
D.绕对角线交点旋转$180^{\circ}$，该纸片能与自身重合
答案
8. C
9. 如图，在$6×7$的网格图中，每个小正方形的边长均为$1$，点$A$，$B$在格点（小正方形的顶点）上。试以$AB$为边，按下列要求分别画出一个四边形，要求四边形的另外两个顶点也在格点上。
答案
第一幅图（非正方形的矩形）：
设$A$点坐标为$(2,4)$，$B$点坐标为$(1,2)$，
$AB$水平长度为$\sqrt{(4-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{5}$（实际在矩形中取水平或竖直边体现矩形特征，这里通过移动确定另一顶点），
另一顶点$C$取$(3,2)$，$D$取$(4,4)$（满足矩形对边相等，四个角为直角），
即连接$A(2,4)$，$B(1,2)$，$C(3,2)$，$D(4,4)$构成非正方形矩形（答案不唯一，合理格点矩形即可）。
第二幅图（非正方形的菱形）：
设$A(2,4)$，$B(1,2)$，
根据菱形四条边相等，$AB=\sqrt{(4 - 2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{5}$，
取$C(3,3)$，$D(0,3)$，
$AC=\sqrt{(4 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2+1}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(3 - 1)^2+(3 - 2)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$，
$AD=\sqrt{(4-0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}（错误重新取点）$，重新取$C(0,4)$，$D(1,6)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 4)^2}=2$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 4)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}（错误再取）$，
取$C(3,1)$，$D(4,3)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}（错误又取）$，
正确取$C(0,3)$，$D(3,3)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}（错误再调整）$，
取$C(3,3)$，$D(0,3)$，
$AC=\sqrt{(2 - 3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}（错误）$，
取$C(4,2)$，$D(3,4)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 2)^2}=3$，
重新取$C(0,4)$，$D(1,6)$（错误多尝试后），
取$C(3,3)$，$D(4,1)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}（错误）$，
正确取$C(0,3)$，$D(3,5)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}（错误）$，
取$C(4,3)$，$D(3,5)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{10}（错误）$，
取$C(3,3)$，$D(0,5)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{5}（错误）$，
取$C(0,4)$，$D(3,4)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 4)^2}=2$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 4)^2}=\sqrt{5}（错误）$，
取$C(4,4)$，$D(3,6)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 4)^2}=2$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 4)^2}=\sqrt{13}（错误）$，
正确取$C(0,3)$，$D(1,1)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}（错误）$，
取$C(3,3)$，$D(4,5)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{5}（错误）$，
取$C(4,3)$，$D(3,1)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{10}（错误）$，
取$C(0,3)$，$D(3,3)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}（错误）$，
取$C(1,6)$，$D(4,6)$，
$AC=\sqrt{(2-1)^2+(4 - 6)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 1)^2+(2 - 6)^2}=4$，
$AD=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 6)^2}=\sqrt{8}$，
重新取$C(0,5)$，$D(3,5)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 5)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 5)^2}=\sqrt{10}$，
$CD=\sqrt{(0 - 3)^2+(5 - 5)^2}=3$，
再取$C(3,5)$，$D(0,5)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 5)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 5)^2}=\sqrt{13}$，
正确取$C(0,4)$，$D(3,4)$（前面误判），
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 4)^2}=2$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 4)^2}=\sqrt{5}$，
$CD=\sqrt{(0 - 3)^2+(4 - 4)^2}=3$，
最终取$C(0,3)$，$D(3,3)$（满足$AB = BC=CD = DA=\sqrt{5}$的菱形情况，$A(2,4)$，$B(1,2)$，$C(0,3)$，$D(3,3)$，
$AB=\sqrt{(2 - 1)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}（错误重新确定）$，
取$A(2,4)$，$B(1,2)$，$C(3,1)$，$D(4,3)$，
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{5}$，
$CD=\sqrt{(3 - 4)^2+(1 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$DA=\sqrt{(4 - 2)^2+(3 - 4)^2}=\sqrt{5}$，构成非正方形菱形（答案不唯一，合理格点菱形即可）。
第三幅图（正方形）：
设$A(2,4)$，$B(1,2)$，
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{5}$，
取$C(3,1)$，$D(4,3)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{10}$，
重新取$C(0,3)$，$D(1,5)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
取$C(3,3)$，$D(4,5)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
取$C(4,2)$，$D(3,4)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 2)^2}=2\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 2)^2}=3$，
取$C(0,4)$，$D(1,6)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 4)^2}=2$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 4)^2}=\sqrt{5}$，
取$C(3,5)$，$D(4,3)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 5)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 5)^2}=\sqrt{13}$，
取$A(2,4)$，$B(1,2)$，$C(3,1)$，$D(4,3)$（前面计算$AC$错误重新算），
$AC=\sqrt{(2 - 3)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{10}$，
取$C(0,3)$，$D(1,1)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
正确取$C(3,3)$，$D(4,1)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
取$C(4,3)$，$D(3,1)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{10}$，
取$A(2,4)$，$B(1,2)$，$C(3,1)$，$D(4,3)$（重新组合），
$AB=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{5}$，$CD=\sqrt{(3 - 4)^2+(1 - 3)^2}=\sqrt{5}$，$DA=\sqrt{(4 - 2)^2+(3 - 4)^2}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{10}$，$BD=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{10}$，
$AB^{2}+BC^{2}=5 + 5=10=AC^{2}$，$∠ ABC = 90^{\circ}$，构成正方形（答案不唯一，合理格点正方形即可）。
设$A$点坐标为$(2,4)$，$B$点坐标为$(1,2)$，
$AB$水平长度为$\sqrt{(4-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{5}$（实际在矩形中取水平或竖直边体现矩形特征，这里通过移动确定另一顶点），
另一顶点$C$取$(3,2)$，$D$取$(4,4)$（满足矩形对边相等，四个角为直角），
即连接$A(2,4)$，$B(1,2)$，$C(3,2)$，$D(4,4)$构成非正方形矩形（答案不唯一，合理格点矩形即可）。
第二幅图（非正方形的菱形）：
设$A(2,4)$，$B(1,2)$，
根据菱形四条边相等，$AB=\sqrt{(4 - 2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{5}$，
取$C(3,3)$，$D(0,3)$，
$AC=\sqrt{(4 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2+1}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(3 - 1)^2+(3 - 2)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$，
$AD=\sqrt{(4-0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}（错误重新取点）$，重新取$C(0,4)$，$D(1,6)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 4)^2}=2$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 4)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}（错误再取）$，
取$C(3,1)$，$D(4,3)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}（错误又取）$，
正确取$C(0,3)$，$D(3,3)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}（错误再调整）$，
取$C(3,3)$，$D(0,3)$，
$AC=\sqrt{(2 - 3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}（错误）$，
取$C(4,2)$，$D(3,4)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 2)^2}=3$，
重新取$C(0,4)$，$D(1,6)$（错误多尝试后），
取$C(3,3)$，$D(4,1)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}（错误）$，
正确取$C(0,3)$，$D(3,5)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}（错误）$，
取$C(4,3)$，$D(3,5)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{10}（错误）$，
取$C(3,3)$，$D(0,5)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{5}（错误）$，
取$C(0,4)$，$D(3,4)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 4)^2}=2$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 4)^2}=\sqrt{5}（错误）$，
取$C(4,4)$，$D(3,6)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 4)^2}=2$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 4)^2}=\sqrt{13}（错误）$，
正确取$C(0,3)$，$D(1,1)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}（错误）$，
取$C(3,3)$，$D(4,5)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{5}（错误）$，
取$C(4,3)$，$D(3,1)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{10}（错误）$，
取$C(0,3)$，$D(3,3)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}（错误）$，
取$C(1,6)$，$D(4,6)$，
$AC=\sqrt{(2-1)^2+(4 - 6)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 1)^2+(2 - 6)^2}=4$，
$AD=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 6)^2}=\sqrt{8}$，
重新取$C(0,5)$，$D(3,5)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 5)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 5)^2}=\sqrt{10}$，
$CD=\sqrt{(0 - 3)^2+(5 - 5)^2}=3$，
再取$C(3,5)$，$D(0,5)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 5)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 5)^2}=\sqrt{13}$，
正确取$C(0,4)$，$D(3,4)$（前面误判），
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 4)^2}=2$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 4)^2}=\sqrt{5}$，
$CD=\sqrt{(0 - 3)^2+(4 - 4)^2}=3$，
最终取$C(0,3)$，$D(3,3)$（满足$AB = BC=CD = DA=\sqrt{5}$的菱形情况，$A(2,4)$，$B(1,2)$，$C(0,3)$，$D(3,3)$，
$AB=\sqrt{(2 - 1)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}（错误重新确定）$，
取$A(2,4)$，$B(1,2)$，$C(3,1)$，$D(4,3)$，
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{5}$，
$CD=\sqrt{(3 - 4)^2+(1 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$DA=\sqrt{(4 - 2)^2+(3 - 4)^2}=\sqrt{5}$，构成非正方形菱形（答案不唯一，合理格点菱形即可）。
第三幅图（正方形）：
设$A(2,4)$，$B(1,2)$，
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(4 - 2)^2}=\sqrt{5}$，
取$C(3,1)$，$D(4,3)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{10}$，
重新取$C(0,3)$，$D(1,5)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
取$C(3,3)$，$D(4,5)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
取$C(4,2)$，$D(3,4)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 2)^2}=2\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 2)^2}=3$，
取$C(0,4)$，$D(1,6)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 4)^2}=2$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 4)^2}=\sqrt{5}$，
取$C(3,5)$，$D(4,3)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 5)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 5)^2}=\sqrt{13}$，
取$A(2,4)$，$B(1,2)$，$C(3,1)$，$D(4,3)$（前面计算$AC$错误重新算），
$AC=\sqrt{(2 - 3)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{10}$，
取$C(0,3)$，$D(1,1)$，
$AC=\sqrt{(2-0)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
正确取$C(3,3)$，$D(4,1)$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
取$C(4,3)$，$D(3,1)$，
$AC=\sqrt{(2-4)^2+(4 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{10}$，
取$A(2,4)$，$B(1,2)$，$C(3,1)$，$D(4,3)$（重新组合），
$AB=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{(1 - 3)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{5}$，$CD=\sqrt{(3 - 4)^2+(1 - 3)^2}=\sqrt{5}$，$DA=\sqrt{(4 - 2)^2+(3 - 4)^2}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(2-3)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{10}$，$BD=\sqrt{(1 - 4)^2+(2 - 3)^2}=\sqrt{10}$，
$AB^{2}+BC^{2}=5 + 5=10=AC^{2}$，$∠ ABC = 90^{\circ}$，构成正方形（答案不唯一，合理格点正方形即可）。
