1. 在平行四边形 $ABCD$ 中，$∠ A:∠ B = 2:3$，则 $∠ D$ 的度数为()

A.$36°$
B.$108°$
C.$72°$
D.$60°$

1. B

2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$AE⊥ BC$ 于点 $E$，$AF⊥ CD$ 于点 $F$。若 $AE = 4$，$AF = 6$，且 $□ ABCD$ 的周长为 $40$，则 $□ ABCD$ 的面积为()


A.$24$
B.$36$
C.$40$
D.$48$

2. D 【解析】设 $ BC = x $。
$\because$ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
$\therefore AB = CD$，$ AD = BC $。
$\because □ ABCD $ 的周长为 $ 40 $，
$\therefore BC + CD = 20 $，
$\therefore CD = 20 - x $。
$\because AE ⊥ BC$，$ AF ⊥ CD $，
$\therefore □ ABCD $ 的面积 $ = BC · AE = CD · AF $，
即 $ 4x = 6(20 - x) $，
解得 $ x = 12 $，
$\therefore □ ABCD $ 的面积 $ = BC · AE = 12 × 4 = 48 $。

3. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 的直线 $EF$ 分别交 $AD$，$CB$ 的延长线于点 $E$，$F$。求证：$OE = OF$。

3. 证明：$\because$ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
$\therefore AO = CO$，$ AD // BC $，
$\therefore ∠ EAO = ∠ FCO $。
在 $ △ AOE $ 和 $ △ COF $ 中，
$\begin{cases} ∠ EAO = ∠ FCO, \\ AO = CO, \\ ∠ AOE = ∠ COF, \end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ COF(ASA)$，
$\therefore OE = OF $。

4. 如图，将 $△ ABC$ 沿着 $AB$ 的方向平移得到 $△ A'B'C'$，其中 $A'C'$ 与 $BC$ 交于点 $D$，连结 $CC'$，则下列结论一定成立的是()

A.$A'B = CC'$
B.$∠ A = ∠ B'$
C.$B'C' = 2BD$
D.$∠ B' = ∠ BCC'$

4. D

5. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，且 $AO = OC$，过点 $O$ 作 $EF⊥ BD$，交 $AD$ 于点 $E$，交 $BC$ 于点 $F$。
（1）求证：四边形 $ABCD$ 为平行四边形。
（2）连结 $BE$，若 $∠ BAD = 100°$，$∠ DBF = 2∠ ABE$，求 $∠ ABE$ 的度数。

5. 解：(1) 证明：$\because AD // BC$，$\therefore ∠ OAD = ∠ OCB $。
在 $ △ AOD $ 和 $ △ COB $ 中，
$\because \begin{cases} ∠ OAD = ∠ OCB, \\ AO = CO, \\ ∠ AOD = ∠ COB, \end{cases}$
$\therefore △ AOD ≌ △ COB(ASA)$，$\therefore AD = CB $。
又 $\because AD // BC$，$\therefore$ 四边形 $ ABCD $ 为平行四边形。
(2) 设 $ ∠ ABE = x $，则 $ ∠ DBF = 2x $。
由 (1) 得，四边形 $ ABCD $ 为平行四边形，
$\therefore OB = OD $。
$\because EF ⊥ BD$，$\therefore BE = DE$，$\therefore ∠ EBD = ∠ EDB $。
$\because AD // BC$，$\therefore ∠ EDB = ∠ DBF $，
$\therefore ∠ EBD = ∠ EDB = ∠ DBF = 2x $。
$\because ∠ BAD + ∠ ABE + ∠ EBD + ∠ EDB = 180° $，
$\therefore 100° + x + 2x + 2x = 180° $，
解得 $ x = 16° $，即 $ ∠ ABE = 16° $。