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12. 我们规定:若$a + b=-1$,则称$a$与$b$是关于$-1$的平衡数。若$4 + 2\sqrt{3}$与$m$是关于$-1$的平衡数,则$m=$
$-5 - 2\sqrt{3}$
。答案
12. $-5 - 2\sqrt{3}$
13. 公元$3$世纪,我国古代数学家刘徽就能利用近似公式$\sqrt{a^{2}+r}\approx a+\dfrac{r}{2a}$得到无理数的近似值,例如:可将$\sqrt{2}$化为$\sqrt{1^{2}+1}$,再由近似公式得到$\sqrt{2}\approx1+\dfrac{1}{2×1}=\dfrac{3}{2}$。若利用此公式计算$\sqrt{17}$的近似值时,$r$取正整数,且$a$取尽可能大的正整数,则$\sqrt{17}\approx$
$\frac{33}{8}$
。答案
13. $\frac{33}{8}$
三、解答题(共35分)
14. (10分)计算:
(1)$(\sqrt{12}×\sqrt{6})÷\sqrt{3}$。
(2)$(1+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})$。
(3)$(2+\sqrt{5})(\sqrt{5}-3)+(\sqrt{5}-1)^{0}$。
(4)$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$。
14. (10分)计算:
(1)$(\sqrt{12}×\sqrt{6})÷\sqrt{3}$。
(2)$(1+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})$。
(3)$(2+\sqrt{5})(\sqrt{5}-3)+(\sqrt{5}-1)^{0}$。
(4)$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$。
答案
14. 解:(1)($\sqrt{12}$×$\sqrt{6}$)÷$\sqrt{3}$ = $\sqrt{72}$÷$\sqrt{3}$ = $\sqrt{24}$ = $2\sqrt{6}$。
(2)(1 + $\sqrt{2}$)(2 - $\sqrt{2}$) = 2 - $\sqrt{2}$ + 2$\sqrt{2}$ - 2 = $\sqrt{2}$
(3)(2 + $\sqrt{5}$)($\sqrt{5}$ - 3) + ($\sqrt{5}$ - 1)⁰ = 2$\sqrt{5}$ - 6 + 5 - 3$\sqrt{5}$ + 1 = -$\sqrt{5}$
(4)$\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ - $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$ - $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$ = $\sqrt{2}$ - 1 - $\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$ = -1 - $\sqrt{3}$
(2)(1 + $\sqrt{2}$)(2 - $\sqrt{2}$) = 2 - $\sqrt{2}$ + 2$\sqrt{2}$ - 2 = $\sqrt{2}$
(3)(2 + $\sqrt{5}$)($\sqrt{5}$ - 3) + ($\sqrt{5}$ - 1)⁰ = 2$\sqrt{5}$ - 6 + 5 - 3$\sqrt{5}$ + 1 = -$\sqrt{5}$
(4)$\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ - $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$ - $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$ = $\sqrt{2}$ - 1 - $\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$ = -1 - $\sqrt{3}$
15. (12分)(1)当$x = 7$时,求代数式$\sqrt{x + 5}+\sqrt{x - 4}-\sqrt{4x - 1}$的值。
(2)已知$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,求$x^{2}y+xy^{2}$的值。
(2)已知$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,求$x^{2}y+xy^{2}$的值。
答案
15. 解:(1)当x = 7时,$\sqrt{x + 5}$ + $\sqrt{x - 4}$ - $\sqrt{4x - 1}$
= $\sqrt{7 + 5}$ + $\sqrt{7 - 4}$ - $\sqrt{4×7 - 1}$ = $\sqrt{12}$ + $\sqrt{3}$ - $\sqrt{27}$
= 2$\sqrt{3}$ + $\sqrt{3}$ - 3$\sqrt{3}$ = 0。
(2)当x = $\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$,y = $\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$时,x²y + xy²
= xy(x + y) = ($\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$)($\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$)($\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$) = 2$\sqrt{3}$。
= $\sqrt{7 + 5}$ + $\sqrt{7 - 4}$ - $\sqrt{4×7 - 1}$ = $\sqrt{12}$ + $\sqrt{3}$ - $\sqrt{27}$
= 2$\sqrt{3}$ + $\sqrt{3}$ - 3$\sqrt{3}$ = 0。
(2)当x = $\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$,y = $\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$时,x²y + xy²
= xy(x + y) = ($\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$)($\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$)($\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$) = 2$\sqrt{3}$。
16. (13分)定义:若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的$3$倍,则称此三角形为"平方倍三角形"。
(1)若一个三角形的三边长分别是$\sqrt{5}$,$\sqrt{11}$和$2$,这个三角形是否为"平方倍三角形"?请你作出判断并说明理由。
(2)若一个直角三角形是"平方倍三角形",求该直角三角形的三边之比。(结果按从小到大的顺序排列)
(1)若一个三角形的三边长分别是$\sqrt{5}$,$\sqrt{11}$和$2$,这个三角形是否为"平方倍三角形"?请你作出判断并说明理由。
(2)若一个直角三角形是"平方倍三角形",求该直角三角形的三边之比。(结果按从小到大的顺序排列)
答案
16. 解:(1)结论:这个三角形是“平方倍三角形”,理由如下:
∵($\sqrt{11}$)² + 2² = 15,3×($\sqrt{5}$)² = 15,
∴($\sqrt{11}$)² + 2² = 3×($\sqrt{5}$)²,
∴这个三角形是“平方倍三角形”。
(2)设两直角边长分别为a,b,斜边长为c。
∵△ABC为“平方倍三角形”,
∴a² + b² = c²,且c² + a² = 3b²,
∴2a² + b² = 3b²,
∴b = a,
∴c = $\sqrt{2}$a,
∴a:b:c = 1:1:$\sqrt{2}$
∵($\sqrt{11}$)² + 2² = 15,3×($\sqrt{5}$)² = 15,
∴($\sqrt{11}$)² + 2² = 3×($\sqrt{5}$)²,
∴这个三角形是“平方倍三角形”。
(2)设两直角边长分别为a,b,斜边长为c。
∵△ABC为“平方倍三角形”,
∴a² + b² = c²,且c² + a² = 3b²,
∴2a² + b² = 3b²,
∴b = a,
∴c = $\sqrt{2}$a,
∴a:b:c = 1:1:$\sqrt{2}$
