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【例题】某班打算买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同种品牌的乒乓球和乒乓球拍,乒乓球拍每副定价 30 元,乒乓球每盒定价 5 元,经洽谈,甲店买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的九折优惠. 该班需乒乓球拍 5 副,乒乓球若干盒(不少于 5 盒). 问：
(1)当购买乒乓球 15 盒时,去哪家店购买比较优惠？
(2)当购买乒乓球多少盒时,两家店的付款金额一样多？
(1)当购买乒乓球 15 盒时,去哪家店购买比较优惠？
(2)当购买乒乓球多少盒时,两家店的付款金额一样多？
答案
解:
(1)甲店:30×5+5×(15-5)=200(元).
乙店:(30×5+5×15)×0.9=202.5(元).
因为200＜202.5,
所以当购买15盒乒乓球时,去甲商店购买比较优惠.
(2)设购买x盒乒乓球时,两家店的付款一样多.
根据题意,得30×5+5(x-5)=(30×5+5x)×0.9.
解得x=20.
所以当购买乒乓球20盒时,两家店的付款金额一样多.
(1)甲店:30×5+5×(15-5)=200(元).
乙店:(30×5+5×15)×0.9=202.5(元).
因为200＜202.5,
所以当购买15盒乒乓球时,去甲商店购买比较优惠.
(2)设购买x盒乒乓球时,两家店的付款一样多.
根据题意,得30×5+5(x-5)=(30×5+5x)×0.9.
解得x=20.
所以当购买乒乓球20盒时,两家店的付款金额一样多.
解析
【分析】
对于第(1)问，解题思路是分别计算购买15盒乒乓球时甲、乙两店的消费金额，再比较大小判断哪家更优惠。计算甲店金额时，要注意“买1副球拍赠1盒乒乓球”的规则，买5副球拍会赠送5盒乒乓球，因此仅需要为超出赠送数量的乒乓球付费；乙店是全部商品打九折，先算球拍和乒乓球的总定价，再乘0.9即可得到实际付款额。
对于第(2)问，我们设购买x盒乒乓球时两家付款金额相等，先分别用含x的代数式表示出甲、乙两店的付款金额，再令两个代数式相等，解一元一次方程即可得到结果，注意x≥5的前提符合实际意义。
【解析】
(1) 计算甲店需付款金额：
5副乒乓球拍的费用为$30×5$元，赠送5盒乒乓球，需要额外付费的乒乓球数量为$15-5=10$盒，乒乓球的费用为$5×(15-5)$元，总费用为：
$30×5+5×(15-5)=150+50=200$（元）
计算乙店需付款金额：
先计算球拍和乒乓球的总定价：$30×5+5×15=150+75=225$元，打九折后的费用为：
$225×0.9=202.5$（元）
因为$200＜202.5$，所以购买15盒乒乓球时去甲店更优惠。
(2) 设购买$x$盒乒乓球时，两家店的付款金额一样多（$x≥5$）。
甲店付款金额为：$30×5+5(x-5)$
乙店付款金额为：$(30×5+5x)×0.9$
根据付款金额相等列方程：
$30×5+5(x-5)=(30×5+5x)×0.9$
化简得：$125+5x=135+4.5x$
移项计算得：$0.5x=10$
解得：$x=20$，符合$x≥5$的条件。
【答案】
(1) 当购买乒乓球15盒时，去甲商店购买比较优惠；
(2) 当购买乒乓球20盒时，两家店的付款金额一样多。
【知识点】
一元一次方程的应用，代数式求值，方案选择问题
【点评】
本题是贴近生活的消费方案选择类应用题，解题核心是准确理解不同商家的优惠规则，正确列出对应消费金额的表达式，再根据题意进行大小比较或列方程求解，能有效提升将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，解题思路是分别计算购买15盒乒乓球时甲、乙两店的消费金额，再比较大小判断哪家更优惠。计算甲店金额时，要注意“买1副球拍赠1盒乒乓球”的规则，买5副球拍会赠送5盒乒乓球，因此仅需要为超出赠送数量的乒乓球付费；乙店是全部商品打九折，先算球拍和乒乓球的总定价，再乘0.9即可得到实际付款额。
对于第(2)问，我们设购买x盒乒乓球时两家付款金额相等，先分别用含x的代数式表示出甲、乙两店的付款金额，再令两个代数式相等，解一元一次方程即可得到结果，注意x≥5的前提符合实际意义。
【解析】
(1) 计算甲店需付款金额：
5副乒乓球拍的费用为$30×5$元，赠送5盒乒乓球，需要额外付费的乒乓球数量为$15-5=10$盒，乒乓球的费用为$5×(15-5)$元，总费用为：
$30×5+5×(15-5)=150+50=200$（元）
计算乙店需付款金额：
先计算球拍和乒乓球的总定价：$30×5+5×15=150+75=225$元，打九折后的费用为：
$225×0.9=202.5$（元）
因为$200＜202.5$，所以购买15盒乒乓球时去甲店更优惠。
(2) 设购买$x$盒乒乓球时，两家店的付款金额一样多（$x≥5$）。
甲店付款金额为：$30×5+5(x-5)$
乙店付款金额为：$(30×5+5x)×0.9$
根据付款金额相等列方程：
$30×5+5(x-5)=(30×5+5x)×0.9$
化简得：$125+5x=135+4.5x$
移项计算得：$0.5x=10$
解得：$x=20$，符合$x≥5$的条件。
【答案】
(1) 当购买乒乓球15盒时，去甲商店购买比较优惠；
(2) 当购买乒乓球20盒时，两家店的付款金额一样多。
【知识点】
一元一次方程的应用，代数式求值，方案选择问题
【点评】
本题是贴近生活的消费方案选择类应用题，解题核心是准确理解不同商家的优惠规则，正确列出对应消费金额的表达式，再根据题意进行大小比较或列方程求解，能有效提升将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决方案选择问题,先要找出费用的多少随哪个量的变化而变化. 若变化量已知,则直接对各个方案进行计算求值、比较大小来确定方案；若变化量未知,则根据费用的关系列方程求变化的量.
答案
答案略
解析
【分析】
解决方案选择问题首先要找准核心变量：也就是导致各个方案费用发生变化的量，比如购物数量、服务使用时长等。首先判断这个变量是否有已知的确定值：如果变量已知，就可以直接计算每个方案的总费用，通过比较费用大小直接选出最优方案；如果变量未知，就需要先把这个变量设为未知数，用含未知数的代数式分别表示出每个方案的费用，再通过列方程找到两个方案费用相等时的变量临界值，再围绕临界值分情况讨论不同取值区间下的最优方案即可。
【解析】
解题步骤如下：
1. 找变量：梳理题目信息，确定影响各方案费用的变化量（如购买商品的数量、通话时长等）；
2. 分情况处理：
① 若变化量已知：将变化量的数值分别代入各方案的费用计算规则，算出每个方案的总费用，比较费用大小，选择费用最低的方案即可；
② 若变化量未知：设该变化量为$ x $，根据题目给出的计费规则，分别用含$ x $的代数式写出各个方案的费用表达式；先列方程令两个方案的费用相等，求解得到费用相同时$ x $的取值（临界值）；再分别讨论当$ x $大于、小于临界值时，两个方案费用的大小关系，对应给出不同取值范围下的最优选择即可。
【答案】
略
【知识点】
一元一次方程应用；代数式求值；最优方案选择
【点评】
这类问题是贴近生活的实际应用题型，解题关键是找准影响费用的核心变化量，分情况讨论计算即可，注意最终选择的方案要符合实际生活中变量的取值要求。
【难度系数】
0.7
解决方案选择问题首先要找准核心变量：也就是导致各个方案费用发生变化的量，比如购物数量、服务使用时长等。首先判断这个变量是否有已知的确定值：如果变量已知，就可以直接计算每个方案的总费用，通过比较费用大小直接选出最优方案；如果变量未知，就需要先把这个变量设为未知数，用含未知数的代数式分别表示出每个方案的费用，再通过列方程找到两个方案费用相等时的变量临界值，再围绕临界值分情况讨论不同取值区间下的最优方案即可。
【解析】
解题步骤如下：
1. 找变量：梳理题目信息，确定影响各方案费用的变化量（如购买商品的数量、通话时长等）；
2. 分情况处理：
① 若变化量已知：将变化量的数值分别代入各方案的费用计算规则，算出每个方案的总费用，比较费用大小，选择费用最低的方案即可；
② 若变化量未知：设该变化量为$ x $，根据题目给出的计费规则，分别用含$ x $的代数式写出各个方案的费用表达式；先列方程令两个方案的费用相等，求解得到费用相同时$ x $的取值（临界值）；再分别讨论当$ x $大于、小于临界值时，两个方案费用的大小关系，对应给出不同取值范围下的最优选择即可。
【答案】
略
【知识点】
一元一次方程应用；代数式求值；最优方案选择
【点评】
这类问题是贴近生活的实际应用题型，解题关键是找准影响费用的核心变化量，分情况讨论计算即可，注意最终选择的方案要符合实际生活中变量的取值要求。
【难度系数】
0.7
小明到某书店帮同学们买书,售货员告诉他,如果用 20 元钱办书店会员卡将享受八折优惠.
(1)请问：这次买书,小明买标价为多少元的书时,办会员卡与不办会员卡花钱一样多？
(2)当小明买标价为 200 元的书时,怎么做更合算？能省多少钱？
(3)当小明买标价为 60 元的书时,怎么做更合算？
(1)请问：这次买书,小明买标价为多少元的书时,办会员卡与不办会员卡花钱一样多？
(2)当小明买标价为 200 元的书时,怎么做更合算？能省多少钱？
(3)当小明买标价为 60 元的书时,怎么做更合算？
答案
解:
(1)设这次买标价为x元的书时,办会员卡与不办会员卡花钱一样.
根据题意,得20+80%x=x,
解得x=100.
所以在这次买书中,买标价为100元的书时,办会员卡与不办会员卡花钱一样.
(2)办会员卡时总费用为20+80%×200=20+160=180(元);
没有办会员卡时总费用为200元,
所以办会员卡更合算,能省20元.
(3)办会员卡时总费用为20+60×80%=20+48=68(元);
没有办会员卡时费用为60元,68＞60,
所以不办会员卡更合算.
(1)设这次买标价为x元的书时,办会员卡与不办会员卡花钱一样.
根据题意,得20+80%x=x,
解得x=100.
所以在这次买书中,买标价为100元的书时,办会员卡与不办会员卡花钱一样.
(2)办会员卡时总费用为20+80%×200=20+160=180(元);
没有办会员卡时总费用为200元,
所以办会员卡更合算,能省20元.
(3)办会员卡时总费用为20+60×80%=20+48=68(元);
没有办会员卡时费用为60元,68＞60,
所以不办会员卡更合算.
解析
【分析】
这是一道生活类方案选择问题，解题时首先要明确两种消费方式的费用计算规则：不办会员卡时，总花费等于书的标价；办会员卡时，总花费等于20元办卡费加上标价打八折的金额。针对第一问，要找两种花费相等的情况，我们可以设书的标价为未知数，根据费用相等的等量关系列一元一次方程求解；第二、三问则直接将对应标价分别代入两种消费方式的费用公式，计算出结果后比较大小，即可判断哪种方式更合算，费用差值就是能省的钱数。
【解析】
(1) 设买标价为x元的书时，办会员卡与不办会员卡花钱一样多。
根据两种方式费用相等的等量关系列方程：
$20 + 80\%x = x$
移项得：$x - 0.8x = 20$
合并同类项得：$0.2x = 20$
解得：$x = 100$
(2) 当书标价为200元时：
办会员卡的总费用：$20 + 200×80\% = 20 + 160 = 180$（元）
不办会员卡的总费用：200元
因为$180 ＜ 200$，所以办会员卡更合算，省的钱数为$200 - 180 = 20$（元）
(3) 当书标价为60元时：
办会员卡的总费用：$20 + 60×80\% = 20 + 48 = 68$（元）
不办会员卡的总费用：60元
因为$68 ＞ 60$，所以不办会员卡更合算。
【答案】
(1) 买标价为100元的书时，办会员卡与不办会员卡花钱一样多；
(2) 办会员卡更合算，能省20元；
(3) 不办会员卡更合算。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 方案选择问题
3. 有理数大小比较
【点评】
本题结合日常消费场景，考查用数学知识解决实际问题的能力，解题核心是理清不同方案的费用计算逻辑，先通过方程找到两种方案费用相等的临界值，再代入具体数值比较就能快速得出结论，实用性较强。
【难度系数】
0.8
这是一道生活类方案选择问题，解题时首先要明确两种消费方式的费用计算规则：不办会员卡时，总花费等于书的标价；办会员卡时，总花费等于20元办卡费加上标价打八折的金额。针对第一问，要找两种花费相等的情况，我们可以设书的标价为未知数，根据费用相等的等量关系列一元一次方程求解；第二、三问则直接将对应标价分别代入两种消费方式的费用公式，计算出结果后比较大小，即可判断哪种方式更合算，费用差值就是能省的钱数。
【解析】
(1) 设买标价为x元的书时，办会员卡与不办会员卡花钱一样多。
根据两种方式费用相等的等量关系列方程：
$20 + 80\%x = x$
移项得：$x - 0.8x = 20$
合并同类项得：$0.2x = 20$
解得：$x = 100$
(2) 当书标价为200元时：
办会员卡的总费用：$20 + 200×80\% = 20 + 160 = 180$（元）
不办会员卡的总费用：200元
因为$180 ＜ 200$，所以办会员卡更合算，省的钱数为$200 - 180 = 20$（元）
(3) 当书标价为60元时：
办会员卡的总费用：$20 + 60×80\% = 20 + 48 = 68$（元）
不办会员卡的总费用：60元
因为$68 ＞ 60$，所以不办会员卡更合算。
【答案】
(1) 买标价为100元的书时，办会员卡与不办会员卡花钱一样多；
(2) 办会员卡更合算，能省20元；
(3) 不办会员卡更合算。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 方案选择问题
3. 有理数大小比较
【点评】
本题结合日常消费场景，考查用数学知识解决实际问题的能力，解题核心是理清不同方案的费用计算逻辑，先通过方程找到两种方案费用相等的临界值，再代入具体数值比较就能快速得出结论，实用性较强。
【难度系数】
0.8
