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5. 某市举办篮球赛,前四强积分榜如下表：
|队名|比赛场次|胜|负|积分|
|爱国|7|7|0|14|
|敬业|7|6|1|13|
|诚信|7|5|2|12|
|友善|7|4|3|11|
注：平局后会进行加时赛,直到比出胜负.
(1) 从表中第一行爱国队的数据可以得知,胜一场得______分,再根据其他行信息知,负一场得______分；
(2) 某队的负场总积分能等于它的胜场总积分吗？说明理由；
(3) 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍吗？若能,请求出是哪一队.
|队名|比赛场次|胜|负|积分|
|爱国|7|7|0|14|
|敬业|7|6|1|13|
|诚信|7|5|2|12|
|友善|7|4|3|11|
注：平局后会进行加时赛,直到比出胜负.
(1) 从表中第一行爱国队的数据可以得知,胜一场得______分,再根据其他行信息知,负一场得______分；
(2) 某队的负场总积分能等于它的胜场总积分吗？说明理由；
(3) 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍吗？若能,请求出是哪一队.
答案
解:
(1)2 1
(2)某队的负场总积分不能等于它的胜场总积分.理由如下:设该队胜了x场,则负了(7-x)场.根据题意,得2x=7-x,解得x= $\frac{7}{3}$.又因为x为整数,所以x= $\frac{7}{3}$不符合题意,舍去.所以某队的负场总积分不能等于它的胜场总积分.
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍,且该队为诚信队.理由如下:设该队胜了y场,则负了(7-y)场.根据题意,得2y=5(7-y),解得y=5.答:某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍,且该队为诚信队.
(1)2 1
(2)某队的负场总积分不能等于它的胜场总积分.理由如下:设该队胜了x场,则负了(7-x)场.根据题意,得2x=7-x,解得x= $\frac{7}{3}$.又因为x为整数,所以x= $\frac{7}{3}$不符合题意,舍去.所以某队的负场总积分不能等于它的胜场总积分.
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍,且该队为诚信队.理由如下:设该队胜了y场,则负了(7-y)场.根据题意,得2y=5(7-y),解得y=5.答:某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍,且该队为诚信队.
解析
【分析】
(1) 首先观察爱国队数据，7场全胜总积分14分，用总积分除以胜场数即可求出胜一场的得分；再选其他队如敬业队，用总积分减去胜场总积分，就能算出负一场的得分。
(2) 要判断负场总积分是否等于胜场总积分，先设胜场数为x，负场数就是总场次7减去x，分别表示出胜场、负场总积分后列方程求解，若解是整数（场次必须为整数）则成立，反之不成立。
(3) 同理设胜场数为y，负场数为(7-y)，根据“胜场总积分=负场总积分×5”的等量关系列方程求解，若解符合实际场次要求，对应积分榜找到对应队伍即可。
【解析】
(1) 爱国队7胜0负积14分，胜一场得分：$14÷7=2$（分）；
选敬业队计算，6胜1负积13分，胜场总积分：$6×2=12$（分），则负一场得分：$13-12=1$（分）。
(2) 不能，理由如下：
设该队胜了$x$场，则负了$(7-x)$场。
根据题意列方程：$2x=7-x$
解得：$x=\frac{7}{3}$
因为比赛场次$x$必须为非负整数，$\frac{7}{3}$不符合实际意义，故舍去，所以某队的负场总积分不能等于它的胜场总积分。
(3) 能，理由如下：
设该队胜了$y$场，则负了$(7-y)$场。
根据题意列方程：$2y=5(7-y)$
解得：$y=5$
即该队胜5场、负2场，对照积分榜可知该队为诚信队。
【答案】
(1) $\boxed{2}$，$\boxed{1}$；
(2) 不能，理由见解析；
(3) 能，该队是诚信队。
【知识点】
一元一次方程的应用，比赛积分问题，实际问题的解检验
【点评】
本题结合篮球比赛积分场景，考查一元一次方程的实际应用，解题核心是先求出胜、负一场的积分，再根据等量关系列方程，同时要注意方程的解需符合实际场景中“场次为非负整数”的要求，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察爱国队数据，7场全胜总积分14分，用总积分除以胜场数即可求出胜一场的得分；再选其他队如敬业队，用总积分减去胜场总积分，就能算出负一场的得分。
(2) 要判断负场总积分是否等于胜场总积分，先设胜场数为x，负场数就是总场次7减去x，分别表示出胜场、负场总积分后列方程求解，若解是整数（场次必须为整数）则成立，反之不成立。
(3) 同理设胜场数为y，负场数为(7-y)，根据“胜场总积分=负场总积分×5”的等量关系列方程求解，若解符合实际场次要求，对应积分榜找到对应队伍即可。
【解析】
(1) 爱国队7胜0负积14分，胜一场得分：$14÷7=2$（分）；
选敬业队计算，6胜1负积13分，胜场总积分：$6×2=12$（分），则负一场得分：$13-12=1$（分）。
(2) 不能，理由如下：
设该队胜了$x$场，则负了$(7-x)$场。
根据题意列方程：$2x=7-x$
解得：$x=\frac{7}{3}$
因为比赛场次$x$必须为非负整数，$\frac{7}{3}$不符合实际意义，故舍去，所以某队的负场总积分不能等于它的胜场总积分。
(3) 能，理由如下：
设该队胜了$y$场，则负了$(7-y)$场。
根据题意列方程：$2y=5(7-y)$
解得：$y=5$
即该队胜5场、负2场，对照积分榜可知该队为诚信队。
【答案】
(1) $\boxed{2}$，$\boxed{1}$；
(2) 不能，理由见解析；
(3) 能，该队是诚信队。
【知识点】
一元一次方程的应用，比赛积分问题，实际问题的解检验
【点评】
本题结合篮球比赛积分场景，考查一元一次方程的实际应用，解题核心是先求出胜、负一场的积分，再根据等量关系列方程，同时要注意方程的解需符合实际场景中“场次为非负整数”的要求，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6. 篮球比赛不仅仅是一种竞技比赛,更是一种运动精神的体现形式,深得师生喜爱. 某校开展了初中男子乙组篮球比赛,共有12支球队参加. 比赛采用单循环积分规则,即每支球队都与其他球队进行一场比赛,每场比赛都要分出胜负,胜一场得3分,负一场得1分.
(1) 如果旋风球队以29分获得积分榜第一名,求旋风球队的胜、负场数；
(2) 如果积分第一名的球队全胜,第二名的球队只负第一名,其余球队旗鼓相当,是否可能都并列第三名？请说明理由；
(3) 在每场比赛中,每次投篮命中可能得1分、2分、3分. 如果积分榜第一名的球队第一场比赛投篮得分为31分,其中只有4次投篮命中得1分,请直接写出该队投篮最多命中3分球的可能次数.
(1) 如果旋风球队以29分获得积分榜第一名,求旋风球队的胜、负场数；
(2) 如果积分第一名的球队全胜,第二名的球队只负第一名,其余球队旗鼓相当,是否可能都并列第三名？请说明理由；
(3) 在每场比赛中,每次投篮命中可能得1分、2分、3分. 如果积分榜第一名的球队第一场比赛投篮得分为31分,其中只有4次投篮命中得1分,请直接写出该队投篮最多命中3分球的可能次数.
答案
解:
(1)设旋风球队的胜场数为x.由题意,得3x+(11-x)=29,解得x=9.所以11-x=2.答:旋风球队胜9场、负2场.
(2)其余球队旗鼓相当,不可能都并列第三名.理由如下:第一名胜11场,积分33分,第二名胜10场,积分为30+1=31(分),12支球队共比赛 $\frac{12×(12-1)}{2}$=66(场),积分共为66×3+66×1=264(分).若其余球队都并列第三名,则每支球队积分为 $\frac{1}{10}$×(264-33-31)=20(分).设每队负b场,则胜(11-b)场.所以3×(11-b)+b=20,解得b= $\frac{13}{2}$.因为比赛场数不能为分数,所以其余球队不可能都并列第三名.
(3)9次.
(1)设旋风球队的胜场数为x.由题意,得3x+(11-x)=29,解得x=9.所以11-x=2.答:旋风球队胜9场、负2场.
(2)其余球队旗鼓相当,不可能都并列第三名.理由如下:第一名胜11场,积分33分,第二名胜10场,积分为30+1=31(分),12支球队共比赛 $\frac{12×(12-1)}{2}$=66(场),积分共为66×3+66×1=264(分).若其余球队都并列第三名,则每支球队积分为 $\frac{1}{10}$×(264-33-31)=20(分).设每队负b场,则胜(11-b)场.所以3×(11-b)+b=20,解得b= $\frac{13}{2}$.因为比赛场数不能为分数,所以其余球队不可能都并列第三名.
(3)9次.
解析
【分析】
(1) 12支球队单循环，每支球队共比赛11场，设胜场数为x，则负场数为11-x，根据“胜场总得分+负场总得分=29”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 先算出第一名、第二名的积分，再计算12支球队的总比赛场次和总积分，用总积分减去前两名的积分得到剩余10队的总积分，若10队并列第三则每队积分相等，据此列方程求解，判断解得的场数是否为非负整数即可。
(3) 先扣除4次1分球的总得分，剩余得分由2分球和3分球贡献，要让3分球命中次数最多，需让2分球命中次数尽可能小，结合得分总和的关系计算3分球的最大可能次数。
【解析】
(1) 设旋风球队的胜场数为x，每队共需比赛12-1=11场，因此负场数为11-x。
由题意得方程：$3x+(11-x)=29$
解得：$2x=18$，$x=9$
则负场数为$11-9=2$。
(2) 不可能都并列第三名，理由如下：
第一名全胜11场，积分为$11×3=33$分；
第二名只负于第一名，即胜10场、负1场，积分为$10×3+1×1=31$分；
12支球队单循环总比赛场次为$\frac{12×(12-1)}{2}=66$场，每场比赛总积分为$3+1=4$分，因此12队总积分为$66×4=264$分。
若剩余10支球队都并列第三名，则每队积分为$\frac{264-33-31}{10}=20$分。
设并列第三的球队负b场，则胜$(11-b)$场，列方程：$3(11-b)+b=20$
解得$b=\frac{13}{2}$，比赛场数必须为非负整数，$\frac{13}{2}$不符合实际，因此其余球队不可能都并列第三名。
(3) 扣除4次1分球的得分后，剩余得分为$31-4×1=27$分，该部分得分由2分球和3分球贡献。要使3分球命中次数最多，需让2分球命中次数尽可能小，当2分球命中次数为0时，3分球命中次数为$27÷3=9$次，符合要求。
【答案】
(1) 胜9场，负2场；
(2) 不可能，理由见解析；
(3) 9次。
【知识点】
一元一次方程应用，比赛积分问题，不定方程整数解
【点评】
本题结合篮球比赛的实际场景分层设置问题，既考查了一元一次方程的基础列解能力，也要求学生结合实际意义判断计算结果的合理性，第三问需要结合整数性质探索最值，能有效考查逻辑推理和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 12支球队单循环，每支球队共比赛11场，设胜场数为x，则负场数为11-x，根据“胜场总得分+负场总得分=29”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 先算出第一名、第二名的积分，再计算12支球队的总比赛场次和总积分，用总积分减去前两名的积分得到剩余10队的总积分，若10队并列第三则每队积分相等，据此列方程求解，判断解得的场数是否为非负整数即可。
(3) 先扣除4次1分球的总得分，剩余得分由2分球和3分球贡献，要让3分球命中次数最多，需让2分球命中次数尽可能小，结合得分总和的关系计算3分球的最大可能次数。
【解析】
(1) 设旋风球队的胜场数为x，每队共需比赛12-1=11场，因此负场数为11-x。
由题意得方程：$3x+(11-x)=29$
解得：$2x=18$，$x=9$
则负场数为$11-9=2$。
(2) 不可能都并列第三名，理由如下：
第一名全胜11场，积分为$11×3=33$分；
第二名只负于第一名，即胜10场、负1场，积分为$10×3+1×1=31$分；
12支球队单循环总比赛场次为$\frac{12×(12-1)}{2}=66$场，每场比赛总积分为$3+1=4$分，因此12队总积分为$66×4=264$分。
若剩余10支球队都并列第三名，则每队积分为$\frac{264-33-31}{10}=20$分。
设并列第三的球队负b场，则胜$(11-b)$场，列方程：$3(11-b)+b=20$
解得$b=\frac{13}{2}$，比赛场数必须为非负整数，$\frac{13}{2}$不符合实际，因此其余球队不可能都并列第三名。
(3) 扣除4次1分球的得分后，剩余得分为$31-4×1=27$分，该部分得分由2分球和3分球贡献。要使3分球命中次数最多，需让2分球命中次数尽可能小，当2分球命中次数为0时，3分球命中次数为$27÷3=9$次，符合要求。
【答案】
(1) 胜9场，负2场；
(2) 不可能，理由见解析；
(3) 9次。
【知识点】
一元一次方程应用，比赛积分问题，不定方程整数解
【点评】
本题结合篮球比赛的实际场景分层设置问题，既考查了一元一次方程的基础列解能力，也要求学生结合实际意义判断计算结果的合理性，第三问需要结合整数性质探索最值，能有效考查逻辑推理和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
