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1. 某市出租车起步价是 5 元(3 km 及 3 km 以内为起步价),超过 3 km 后,超出部分按每千米 1.6 元收费,不足 1 km 按 1 km 收费. 小明乘出租车到达目的地时计价器显示为 11.4 元,则此次出租车行驶的路程可能是( )
A.5.5 km
B.6.9 km
C.7.5 km
D.8.1 km
A.5.5 km
B.6.9 km
C.7.5 km
D.8.1 km
答案
B
解析
【分析】
这是一道分段计费的实际应用题，解题时首先判断行驶路程超过3km，再算出超出起步价的费用，结合超出部分的收费标准算出计费的超出里程，再根据“不足1km按1km收费”的规则推算出实际行驶路程的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：设此次出租车行驶的路程为$s$ km。
∵ 计价器显示11.4元＞起步价5元，
∴ 行驶路程超过3km。
超出起步价的费用为：$11.4 - 5 = 6.4$元
超出3km部分的计费里程为：$6.4 ÷ 1.6 = 4$ km
根据“不足1km按1km收费”的规则，实际超出3km的路程满足：$3 ＜ s - 3 ≤ 4$
解不等式得：$6 ＜ s ≤ 7$
对照选项，只有6.9km在$6 ＜ s ≤ 7$的范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
分段计费问题，一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于生活中常见的出租车收费问题，核心是理解“不足1km按1km收费”的计费规则，通过计算和推导确定路程的取值范围，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
这是一道分段计费的实际应用题，解题时首先判断行驶路程超过3km，再算出超出起步价的费用，结合超出部分的收费标准算出计费的超出里程，再根据“不足1km按1km收费”的规则推算出实际行驶路程的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：设此次出租车行驶的路程为$s$ km。
∵ 计价器显示11.4元＞起步价5元，
∴ 行驶路程超过3km。
超出起步价的费用为：$11.4 - 5 = 6.4$元
超出3km部分的计费里程为：$6.4 ÷ 1.6 = 4$ km
根据“不足1km按1km收费”的规则，实际超出3km的路程满足：$3 ＜ s - 3 ≤ 4$
解不等式得：$6 ＜ s ≤ 7$
对照选项，只有6.9km在$6 ＜ s ≤ 7$的范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
分段计费问题，一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于生活中常见的出租车收费问题，核心是理解“不足1km按1km收费”的计费规则，通过计算和推导确定路程的取值范围，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
2. 七年级某班准备组织同学们观看电影,由班长负责买票. 已知电影票价每张 50 元,观影人数超过 40 的团体票有两个优惠方案可选择. 方案一：全体人员可打八折；方案二：5 人免票,其他人可以打九折. 班长思考一会儿说我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的. 若这个班级观影人数超过 40,则该班共有______人观看电影.
答案
45
解析
【分析】
遇到两种方案付费相同的问题，核心是抓住“方案一总费用=方案二总费用”的等量关系。首先设该班观影总人数为x人（x＞40），再分别根据两个优惠方案的规则，用含x的代数式表示出两种方案的总花费，令两个代数式相等列出一元一次方程，求解后验证结果是否满足人数超过40的条件即可。
【解析】
解：设该班共有x人观看电影，由题意得x＞40。
方案一的总费用：$50×0.8x = 40x$
方案二的总费用：$50×0.9×(x-5)=45(x-5)$
因为两种方案要付的钱一样，可列方程：
$40x = 45(x-5)$
展开得：$40x = 45x - 225$
移项合并同类项得：$5x = 225$
解得：$x = 45$
验证：45＞40，符合题目限定条件。
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程的应用、方案选择问题、打折计费计算
【点评】
本题是典型的方案选择类应用题，解题关键是找准等量关系，正确用代数式表示不同方案的费用，求解后要注意验证结果是否符合题目的前提限制条件。
【难度系数】
0.7
遇到两种方案付费相同的问题，核心是抓住“方案一总费用=方案二总费用”的等量关系。首先设该班观影总人数为x人（x＞40），再分别根据两个优惠方案的规则，用含x的代数式表示出两种方案的总花费，令两个代数式相等列出一元一次方程，求解后验证结果是否满足人数超过40的条件即可。
【解析】
解：设该班共有x人观看电影，由题意得x＞40。
方案一的总费用：$50×0.8x = 40x$
方案二的总费用：$50×0.9×(x-5)=45(x-5)$
因为两种方案要付的钱一样，可列方程：
$40x = 45(x-5)$
展开得：$40x = 45x - 225$
移项合并同类项得：$5x = 225$
解得：$x = 45$
验证：45＞40，符合题目限定条件。
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程的应用、方案选择问题、打折计费计算
【点评】
本题是典型的方案选择类应用题，解题关键是找准等量关系，正确用代数式表示不同方案的费用，求解后要注意验证结果是否符合题目的前提限制条件。
【难度系数】
0.7
3. 甲、乙两个商场以同样价格出售同样的商品,并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过 100 元后,超出 100 元的部分按 90%收费；在乙商场累计购物超过 50 元后,超出 50 元的部分按 95%收费. 设小红在同一商场累计购物 x 元,其中 x 大于 100. 当 x 取______时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同.
答案
150
解析
【分析】
要找出小红在甲、乙两商场实际花费相同的x值，首先需根据两个商场的优惠方案，分别列出x＞100时在两个商场购物的实际花费的代数式，再根据“花费相同”的等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
已知x＞100，分别计算两个商场的实际花费：
1. 甲商场花费：累计购物超过100元的部分按90%收费，所以实际花费为
$100 + 90\%(x - 100)$
2. 乙商场花费：累计购物超过50元的部分按95%收费，x＞100满足优惠条件，所以实际花费为
$50 + 95\%(x - 50)$
根据两商场花费相同，列方程：
$100 + 0.9(x - 100) = 50 + 0.95(x - 50)$
展开并化简方程：
左边：$100 + 0.9x - 90 = 0.9x + 10$
右边：$50 + 0.95x - 47.5 = 0.95x + 2.5$
移项得：
$10 - 2.5 = 0.95x - 0.9x$
合并同类项得：
$7.5 = 0.05x$
解得：$x = 150$
【答案】
150
【知识点】
一元一次方程的应用；列代数式
【点评】
本题是典型的方案选择类应用题，解题核心是准确根据优惠规则列出对应花费的代数式，再结合等量关系列方程求解，掌握基础的列代数式和解一元一次方程的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要找出小红在甲、乙两商场实际花费相同的x值，首先需根据两个商场的优惠方案，分别列出x＞100时在两个商场购物的实际花费的代数式，再根据“花费相同”的等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
已知x＞100，分别计算两个商场的实际花费：
1. 甲商场花费：累计购物超过100元的部分按90%收费，所以实际花费为
$100 + 90\%(x - 100)$
2. 乙商场花费：累计购物超过50元的部分按95%收费，x＞100满足优惠条件，所以实际花费为
$50 + 95\%(x - 50)$
根据两商场花费相同，列方程：
$100 + 0.9(x - 100) = 50 + 0.95(x - 50)$
展开并化简方程：
左边：$100 + 0.9x - 90 = 0.9x + 10$
右边：$50 + 0.95x - 47.5 = 0.95x + 2.5$
移项得：
$10 - 2.5 = 0.95x - 0.9x$
合并同类项得：
$7.5 = 0.05x$
解得：$x = 150$
【答案】
150
【知识点】
一元一次方程的应用；列代数式
【点评】
本题是典型的方案选择类应用题，解题核心是准确根据优惠规则列出对应花费的代数式，再结合等量关系列方程求解，掌握基础的列代数式和解一元一次方程的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 某业余篮球队需要到一个篮球俱乐部租借场地训练,该俱乐部场地租借费的三种收费方式如下表所示(不足 1 h 按 1 h 计算)：
|方式|①计时收费|②银卡会员|③金卡会员|
|收费标准|50 元/h|会员费 400 元0～10 h 免费,超过 10 h 30 元/h|会员费 1000 元0～40 h 免费,超过 40 h 20 元/h|
请回答下列问题：
(1)若篮球队租借该场地的时间超过 40 h,请选一个具体数值说明按方式③付费最省钱；
(2)当篮球队租借场地时间为多少小时时,按方式①、方式②收费所付的钱相同？
|方式|①计时收费|②银卡会员|③金卡会员|
|收费标准|50 元/h|会员费 400 元0～10 h 免费,超过 10 h 30 元/h|会员费 1000 元0～40 h 免费,超过 40 h 20 元/h|
请回答下列问题：
(1)若篮球队租借该场地的时间超过 40 h,请选一个具体数值说明按方式③付费最省钱；
(2)当篮球队租借场地时间为多少小时时,按方式①、方式②收费所付的钱相同？
答案
解:
(1)当篮球队租借该场地的时间为41 h时,按方式①所付费用为50×41=2 050(元);
按方式②所付费用为400+30×(41-10)=1 330(元);
按方式③所付费用为1 000+20×(41-40)=1 020(元).
因为2 050＞1 330＞1 020,
所以若篮球队租借该场地的时间超过40 h,则按方式③付费最省钱.
(2)设篮球队租借场地时间为x h,
当0＜x≤10时,50x=400,
解得x=8;
当x＞10时,50x=400+30(x-10),
解得x=5(不符合题意,舍去).
答:当篮球队租借场地时间为8 h时,按方式①、方式②收费所付的钱相同.
(1)当篮球队租借该场地的时间为41 h时,按方式①所付费用为50×41=2 050(元);
按方式②所付费用为400+30×(41-10)=1 330(元);
按方式③所付费用为1 000+20×(41-40)=1 020(元).
因为2 050＞1 330＞1 020,
所以若篮球队租借该场地的时间超过40 h,则按方式③付费最省钱.
(2)设篮球队租借场地时间为x h,
当0＜x≤10时,50x=400,
解得x=8;
当x＞10时,50x=400+30(x-10),
解得x=5(不符合题意,舍去).
答:当篮球队租借场地时间为8 h时,按方式①、方式②收费所付的钱相同.
解析
【分析】
(1) 要验证租借时长超过40h时方式③最省钱，只需选取一个大于40h的具体时长（如41h），分别按照三种收费规则计算对应费用，比较费用大小即可证明结论。
(2) 求方式①和方式②费用相等的时长，需结合方式②的分段收费规则分类讨论：第一种是时长在0~10h区间，此时方式②仅收会员费；第二种是时长超过10h，此时方式②费用为会员费加超出部分的费用。分别对两种情况列一元一次方程求解，再验证解是否符合对应区间，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 选取租借时长为41h（大于40h即可），分别计算三种收费方式的费用：
方式①费用：$50×41=2050$（元）
方式②费用：会员费400元，超出10h的时长为$41-10=31\mathrm{h}$，总费用为$400+30×31=1330$（元）
方式③费用：会员费1000元，超出40h的时长为$41-40=1\mathrm{h}$，总费用为$1000+20×1=1020$（元）
因为$2050＞1330＞1020$，所以此时方式③付费最省钱，即租借时间超过40h时方式③最省钱。
(2) 设篮球队租借场地时间为$x\mathrm{h}$，分两种情况讨论：
① 当$0＜x≤10$时，方式②仅收取会员费400元，列方程：
$50x=400$
解得$x=8$，符合$0＜x≤10$的区间，有效。
② 当$x＞10$时，方式②费用为会员费加超出10h部分的费用，列方程：
$50x=400+30(x-10)$
整理得$50x=30x+100$，解得$x=5$，不符合$x＞10$的条件，舍去。
综上，符合条件的租借时长为8h。
【答案】
(1) 例如租借41h时，方式①付费2050元，方式②付费1330元，方式③付费1020元，方式③最省钱（举例合理即可）；
(2) 8h
【知识点】
一元一次方程应用，分段计费问题，方案选择问题
【点评】
本题结合生活场景考查分段计费的实际应用，解题关键是明确不同收费方式的分段规则，运用分类讨论思想列方程求解，注意求出的解要验证是否符合对应区间的要求，避免保留不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 要验证租借时长超过40h时方式③最省钱，只需选取一个大于40h的具体时长（如41h），分别按照三种收费规则计算对应费用，比较费用大小即可证明结论。
(2) 求方式①和方式②费用相等的时长，需结合方式②的分段收费规则分类讨论：第一种是时长在0~10h区间，此时方式②仅收会员费；第二种是时长超过10h，此时方式②费用为会员费加超出部分的费用。分别对两种情况列一元一次方程求解，再验证解是否符合对应区间，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 选取租借时长为41h（大于40h即可），分别计算三种收费方式的费用：
方式①费用：$50×41=2050$（元）
方式②费用：会员费400元，超出10h的时长为$41-10=31\mathrm{h}$，总费用为$400+30×31=1330$（元）
方式③费用：会员费1000元，超出40h的时长为$41-40=1\mathrm{h}$，总费用为$1000+20×1=1020$（元）
因为$2050＞1330＞1020$，所以此时方式③付费最省钱，即租借时间超过40h时方式③最省钱。
(2) 设篮球队租借场地时间为$x\mathrm{h}$，分两种情况讨论：
① 当$0＜x≤10$时，方式②仅收取会员费400元，列方程：
$50x=400$
解得$x=8$，符合$0＜x≤10$的区间，有效。
② 当$x＞10$时，方式②费用为会员费加超出10h部分的费用，列方程：
$50x=400+30(x-10)$
整理得$50x=30x+100$，解得$x=5$，不符合$x＞10$的条件，舍去。
综上，符合条件的租借时长为8h。
【答案】
(1) 例如租借41h时，方式①付费2050元，方式②付费1330元，方式③付费1020元，方式③最省钱（举例合理即可）；
(2) 8h
【知识点】
一元一次方程应用，分段计费问题，方案选择问题
【点评】
本题结合生活场景考查分段计费的实际应用，解题关键是明确不同收费方式的分段规则，运用分类讨论思想列方程求解，注意求出的解要验证是否符合对应区间的要求，避免保留不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
