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5. 公园门票价格规定如表所示：
|购票张数|1～50|51～100|100 以上|
|每张票的价格|13 元|11 元|9 元|
某校八(1)班、八(2)班共 104 人去公园游玩,其中八(1)班人数较少,不足 50 人. 经估算,如果两个班都以班级为单位购票,那么一共应付 1240 元. 问：
(1)两班各有多少学生？
(2)如果两班联合起来,作为一个团体购票,可省多少钱？
(3)如果组织八(1)班学生单独去公园游玩,作为组织者的你如何购票才最省钱？
|购票张数|1～50|51～100|100 以上|
|每张票的价格|13 元|11 元|9 元|
某校八(1)班、八(2)班共 104 人去公园游玩,其中八(1)班人数较少,不足 50 人. 经估算,如果两个班都以班级为单位购票,那么一共应付 1240 元. 问：
(1)两班各有多少学生？
(2)如果两班联合起来,作为一个团体购票,可省多少钱？
(3)如果组织八(1)班学生单独去公园游玩,作为组织者的你如何购票才最省钱？
答案
解:
(1)设八
(1)班有x人,则八
(2)班有(104-x)人.
根据题意,得13x+11(104-x)=1 240.
解得x=48,则104-x=104-48=56.
答:八
(1)班有48人,八
(2)班有56人.
(2)1 240-104×9=304(元).
答:可省304元钱.
(3)要想享受优惠,由
(1)知八
(1)班48人,只需多买3张票,
51×11=561(元),48×13=624(元).
因为624＞561,所以48人买51人的票可以更省钱.
(1)设八
(1)班有x人,则八
(2)班有(104-x)人.
根据题意,得13x+11(104-x)=1 240.
解得x=48,则104-x=104-48=56.
答:八
(1)班有48人,八
(2)班有56人.
(2)1 240-104×9=304(元).
答:可省304元钱.
(3)要想享受优惠,由
(1)知八
(1)班48人,只需多买3张票,
51×11=561(元),48×13=624(元).
因为624＞561,所以48人买51人的票可以更省钱.
解析
【分析】
1. 求解两班人数：已知八(1)班不足50人，对应票价13元/张，两班总人数104人，因此八(2)班人数在51~100区间，对应票价11元/张，根据两班单独购票总费用1240元的等量关系，列一元一次方程即可求解。
2. 计算节省费用：两班联合共104人，符合100人以上的9元/张购票优惠，先算出团体购票总费用，再和单独购票的总费用作差即可得到省的钱数。
3. 最优购票方案：八(1)班共48人，分别计算按实际人数购票、多买3张享受51~100区间优惠的总费用，对比两个费用的大小就能得到最省钱的购票方式。
【解析】
(1) 设八(1)班有$x$人，则八(2)班有$(104-x)$人，根据题意列方程：
$13x+11(104-x)=1240$
展开得：$13x+1144-11x=1240$
合并同类项得：$2x=96$
解得：$x=48$
则八(2)班人数为$104-48=56$（人）
(2) 两班联合团体购票总费用：$104×9=936$（元）
可节省费用：$1240-936=304$（元）
(3) 方案1：按48人实际人数购票，总费用：$48×13=624$（元）
方案2：购买51张票享受优惠，总费用：$51×11=561$（元）
因为$561＜624$，所以购买51张票更省钱。
【答案】
(1) 八(1)班有48人，八(2)班有56人；
(2) 可省304元；
(3) 购买51张票最省钱。
【知识点】
一元一次方程应用，最优方案选择，有理数运算
【点评】
本题结合生活中购票优惠的实际场景，既考查了列一元一次方程解应用题的能力，也要求学生结合优惠规则对比不同方案的成本，引导学生用数学思维解决实际问题，解题时要注意准确判断不同人数对应的票价区间，避免漏看优惠条件。
【难度系数】
0.7
1. 求解两班人数：已知八(1)班不足50人，对应票价13元/张，两班总人数104人，因此八(2)班人数在51~100区间，对应票价11元/张，根据两班单独购票总费用1240元的等量关系，列一元一次方程即可求解。
2. 计算节省费用：两班联合共104人，符合100人以上的9元/张购票优惠，先算出团体购票总费用，再和单独购票的总费用作差即可得到省的钱数。
3. 最优购票方案：八(1)班共48人，分别计算按实际人数购票、多买3张享受51~100区间优惠的总费用，对比两个费用的大小就能得到最省钱的购票方式。
【解析】
(1) 设八(1)班有$x$人，则八(2)班有$(104-x)$人，根据题意列方程：
$13x+11(104-x)=1240$
展开得：$13x+1144-11x=1240$
合并同类项得：$2x=96$
解得：$x=48$
则八(2)班人数为$104-48=56$（人）
(2) 两班联合团体购票总费用：$104×9=936$（元）
可节省费用：$1240-936=304$（元）
(3) 方案1：按48人实际人数购票，总费用：$48×13=624$（元）
方案2：购买51张票享受优惠，总费用：$51×11=561$（元）
因为$561＜624$，所以购买51张票更省钱。
【答案】
(1) 八(1)班有48人，八(2)班有56人；
(2) 可省304元；
(3) 购买51张票最省钱。
【知识点】
一元一次方程应用，最优方案选择，有理数运算
【点评】
本题结合生活中购票优惠的实际场景，既考查了列一元一次方程解应用题的能力，也要求学生结合优惠规则对比不同方案的成本，引导学生用数学思维解决实际问题，解题时要注意准确判断不同人数对应的票价区间，避免漏看优惠条件。
【难度系数】
0.7
6. 一名顾客打算从某家电商场的甲、乙两款空调中选购一台,但购买时要综合考虑空调的价格和耗电情况,两款空调的部分信息如下表：
|匹数|能效等级|标价/元|使用时平均每日耗电量/千瓦时|
|1.5|1 级|3000|2.2|
|1.5|3 级|2400|3|
(1)若两种能效等级的空调使用效果相同,但 1 级能效的空调不打折,以标价出售,3 级能效的空调可以打折出售,请你计算一下：3 级能效的空调打几折出售时与 1 级能效的空调综合费用一样？注：综合费用= 空调的售价+电费(假设：每千瓦时电费为 0.5 元,两种空调的使用寿命均为 10 年,平均每年使用 300 天)；
(2)假如不打折,在空调的使用寿命范围内,请你分析他购买哪款空调综合费用较低.
|匹数|能效等级|标价/元|使用时平均每日耗电量/千瓦时|
|1.5|1 级|3000|2.2|
|1.5|3 级|2400|3|
(1)若两种能效等级的空调使用效果相同,但 1 级能效的空调不打折,以标价出售,3 级能效的空调可以打折出售,请你计算一下：3 级能效的空调打几折出售时与 1 级能效的空调综合费用一样？注：综合费用= 空调的售价+电费(假设：每千瓦时电费为 0.5 元,两种空调的使用寿命均为 10 年,平均每年使用 300 天)；
(2)假如不打折,在空调的使用寿命范围内,请你分析他购买哪款空调综合费用较低.
答案
解:
(1)设3级能效的空调打x折出售时与1级能效的空调综合费用一样.根据题意,得2 400×(x/10)+0.5×3×300×10=3 000+0.5×2.2×300×10,
解得x=7.5.
答:3级能效的空调打七五折出售时两种空调综合费用一样.
(2)在空调的使用寿命范围内,设两种空调运行时间为y年.
1级能效空调的费用为
3 000+0.5×2.2×300×y=3 000+330y(元);
3级能效空调的费用为
2 400+0.5×3×300×y=2 400+450y(元),
3 000+330y-(2 400+450y)=600-120y.
当600-120y=0时,y=5,
所以当y等于5时,两款空调的综合费用相等;
当y小于5时,600-120y是正数,3级能效空调的综合费用较低;
当y大于5时,600-120y是负数,1级能效空调的综合费用较低.
(1)设3级能效的空调打x折出售时与1级能效的空调综合费用一样.根据题意,得2 400×(x/10)+0.5×3×300×10=3 000+0.5×2.2×300×10,
解得x=7.5.
答:3级能效的空调打七五折出售时两种空调综合费用一样.
(2)在空调的使用寿命范围内,设两种空调运行时间为y年.
1级能效空调的费用为
3 000+0.5×2.2×300×y=3 000+330y(元);
3级能效空调的费用为
2 400+0.5×3×300×y=2 400+450y(元),
3 000+330y-(2 400+450y)=600-120y.
当600-120y=0时,y=5,
所以当y等于5时,两款空调的综合费用相等;
当y小于5时,600-120y是正数,3级能效空调的综合费用较低;
当y大于5时,600-120y是负数,1级能效空调的综合费用较低.
解析
【分析】
(1) 要计算3级能效空调打几折时两款综合费用相同，首先明确综合费用=空调售价+总电费。我们设折扣为x折，3级空调的售价为标价乘以$\frac{x}{10}$，再分别计算两款空调10年使用周期的总电费，根据“两款综合费用相等”列一元一次方程求解即可。
(2) 不打折时比较综合费用，先设使用时长为$y$年，分别用含$y$的代数式表示两款空调的总综合费用，再通过作差比较两个代数式的大小，分三种情况讨论即可得出不同使用时长下的最优选择。
【解析】
(1) 设3级能效的空调打$x$折出售时与1级能效的空调综合费用一样。
根据题意列方程：
$2400×\frac{x}{10}+0.5×3×300×10=3000+0.5×2.2×300×10$
化简计算：
$240x+4500=3000+3300$
$240x=1800$
解得$x=7.5$。
(2) 设两款空调的运行时间为$y$年，分别表示两款的综合费用：
1级能效空调综合费用：$3000+0.5×2.2×300y=3000+330y$（元）；
3级能效空调综合费用：$2400+0.5×3×300y=2400+450y$（元）。
将两个费用作差得：$3000+330y-(2400+450y)=600-120y$。
当$600-120y=0$时，解得$y=5$，即使用时长为5年时，两款空调综合费用相等；
当$y＜5$时，$600-120y＞0$，此时3级能效空调的综合费用更低；
当$y＞5$时，$600-120y＜0$，此时1级能效空调的综合费用更低。
【答案】
(1) 3级能效的空调打七五折出售时两种空调综合费用一样；
(2) 当使用时长为5年时，两款空调综合费用相同；当使用时长小于5年时，购买3级能效空调综合费用较低；当使用时长大于5年时，购买1级能效空调综合费用较低。
【知识点】
一元一次方程应用，方案选择问题，列代数式
【点评】
本题结合生活中家电选购的真实场景，考查了用方程思想和分类讨论思想解决实际问题的能力，解题的核心是理清综合费用的构成，找准等量关系列方程，同时要根据差值的正负合理分类，实用性较强，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算3级能效空调打几折时两款综合费用相同，首先明确综合费用=空调售价+总电费。我们设折扣为x折，3级空调的售价为标价乘以$\frac{x}{10}$，再分别计算两款空调10年使用周期的总电费，根据“两款综合费用相等”列一元一次方程求解即可。
(2) 不打折时比较综合费用，先设使用时长为$y$年，分别用含$y$的代数式表示两款空调的总综合费用，再通过作差比较两个代数式的大小，分三种情况讨论即可得出不同使用时长下的最优选择。
【解析】
(1) 设3级能效的空调打$x$折出售时与1级能效的空调综合费用一样。
根据题意列方程：
$2400×\frac{x}{10}+0.5×3×300×10=3000+0.5×2.2×300×10$
化简计算：
$240x+4500=3000+3300$
$240x=1800$
解得$x=7.5$。
(2) 设两款空调的运行时间为$y$年，分别表示两款的综合费用：
1级能效空调综合费用：$3000+0.5×2.2×300y=3000+330y$（元）；
3级能效空调综合费用：$2400+0.5×3×300y=2400+450y$（元）。
将两个费用作差得：$3000+330y-(2400+450y)=600-120y$。
当$600-120y=0$时，解得$y=5$，即使用时长为5年时，两款空调综合费用相等；
当$y＜5$时，$600-120y＞0$，此时3级能效空调的综合费用更低；
当$y＞5$时，$600-120y＜0$，此时1级能效空调的综合费用更低。
【答案】
(1) 3级能效的空调打七五折出售时两种空调综合费用一样；
(2) 当使用时长为5年时，两款空调综合费用相同；当使用时长小于5年时，购买3级能效空调综合费用较低；当使用时长大于5年时，购买1级能效空调综合费用较低。
【知识点】
一元一次方程应用，方案选择问题，列代数式
【点评】
本题结合生活中家电选购的真实场景，考查了用方程思想和分类讨论思想解决实际问题的能力，解题的核心是理清综合费用的构成，找准等量关系列方程，同时要根据差值的正负合理分类，实用性较强，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
