7. 如图，将矩形纸片 $ABCD$ 折叠，使点 $B$ 与点 $D$ 重合，点 $A$ 落在点 $P$ 处，折痕为 $EF$，分别交 $AD$，$BC$ 于点 $E$，$F$.
(1) 求证：$△ PDE ≌ △ CDF$.
(2) 若 $CD = 4$，$EF = 5$，求 $BC$ 的长.

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ A=∠ ADC=∠ C=90°$，$AB=CD$。
由折叠的性质得：$∠ P=∠ A=90°$，$PD=AB$，
∴ $∠ P=∠ C$，$PD=CD$。
∵ $∠ PDE+∠ EDF=90°$，$∠ CDF+∠ EDF=90°$，
∴ $∠ PDE=∠ CDF$。
在$△ PDE$和$△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ P=∠ C \\PD=CD \\∠ PDE=∠ CDF\end{array} $
∴ $△ PDE≌△ CDF$（ASA）。
(2) 解：
连接$BD$，交$EF$于点$O$，过点$E$作$EG⊥ BC$于点$G$，则$EG=CD=4$，$∠ EGF=90°$。
由折叠的性质得：$EF$垂直平分$BD$，∴ $BF=DF$，$BO=DO$，$EF⊥ BD$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，∴ $AD// BC$，∴ $∠ EDO=∠ FBO$。
在$△ DEO$和$△ BFO$中，
$\{\begin{array}{l}∠ EDO=∠ FBO \\DO=BO \\∠ DOE=∠ BOF\end{array} $
∴ $△ DEO≌△ BFO$（ASA），∴ $EO=FO=\frac{1}{2}EF=\frac{5}{2}$。
设$BC=AD=x$，$AE=PE=y$，则$DE=AD-AE=x-y$。
由$△ PDE≌△ CDF$得：$PE=CF=y$，∴ $BF=DF=x-y$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$DF^2=CF^2+CD^2$，即$(x-y)^2=y^2+4^2$，
化简得：$x^2-2xy=16$ ①。
在$\mathrm{Rt}△ EGF$中，$FG=BF-CG=(x-y)-y=x-2y$，
由勾股定理得：$EG^2+FG^2=EF^2$，
即$4^2+(x-2y)^2=5^2$，解得$x-2y=3$（$x-2y=-3$舍去），
∴ $y=\frac{x-3}{2}$ ②。
将②代入①得：
$x^2-2x·\frac{x-3}{2}=16$，
化简得：$3x=16$，解得$x=\frac{16}{3}$。
∴ $BC$的长为$\boldsymbol{\frac{16}{3}}$。

8. 如图，$△ OAD$ 是等腰直角三角形，延长 $OA$ 至点 $B$，使 $OB = OD$. 已知四边形 $ABCD$ 是矩形，其对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $E$，连接 $OE$，交 $AD$ 于点 $F$.
(1) 求证：$△ OAF ≌ △ DAB$.
(2) 求 $\frac{DF}{AF}$ 的值.

(1) 证明：
∵△OAD是等腰直角三角形，
∴OA=AD，∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，矩形对角线互相平分，故E为BD中点，
∴∠OAF=∠DAB=90°，
∵OB=OD，E为BD中点，
∴OE⊥BD，即∠OEB=90°，
∴∠AOF + ∠OBA=90°，
又∵Rt△DAB中，∠ADB + ∠OBA=90°，
∴∠AOF=∠ADB，
在△OAF和△DAB中，
$\{\begin{array}{l}∠AOF=∠ADB \\OA=AD \\∠OAF=∠DAB\end{array} $
∴△OAF≌△DAB（ASA）。
(2) 解：
设OA=AD=1，
∵△OAD是等腰直角三角形，
∴$OD=\sqrt{OA^2+AD^2}=\sqrt{2}$，
∵OB=OD，
∴OB=$\sqrt{2}$，
∴$AB=OB-OA=\sqrt{2}-1$，
由(1)知△OAF≌△DAB，
∴$AF=AB=\sqrt{2}-1$，
∵AD=1，
∴$DF=AD-AF=1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}$。
结论：$\frac{DF}{AF}$的值为$\sqrt{2}$。