例 1 如图 8.2.3，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$C$ 是线段 $BE$ 的中点，连接 $DE$，$AE$。
（1）求证：四边形 $ACED$ 是平行四边形。
（2）若 $AB = AE$，求证：四边形 $ACED$ 是矩形。

（1）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$。
∵$C$是线段$BE$的中点，
∴$BC=CE$。
∴$AD// CE$，$AD=CE$。
∴四边形$ACED$是平行四边形。
（2）证明：
∵$AB=AE$，$C$是线段$BE$的中点，
∴$AC⊥ BE$，
∴$∠ ACE=90°$。
∵四边形$ACED$是平行四边形，
∴四边形$ACED$是矩形。

例 2 如图 8.2.4，在 $△ ABC$ 中，$O$ 是 $AC$ 上的一个动点，过点 $O$ 作直线 $MN // BC$。设 $MN$ 交 $∠ BCA$ 的平分线于点 $E$，交 $∠ BCA$ 的邻补角的平分线于点 $F$。
（1）求证：$OE = OF$。
（2）点 $O$ 运动到何处时，四边形 $AECF$ 矩形？请写出推理过程。

（1）证明：
∵ $MN // BC$，
∴ $∠ OEC = ∠ BCE$，$∠ OFC = ∠ GCF$。
∵ $CE$ 平分 $∠ BCA$，$CF$ 平分 $∠ ACG$，
∴ $∠ OCE = ∠ BCE$，$∠ OCF = ∠ GCF$。
∴ $∠ OEC = ∠ OCE$，$∠ OFC = ∠ OCF$。
∴ $OE = OC$，$OF = OC$。
∴ $OE = OF$。
（2）解：当点$O$运动到$AC$的中点时，四边形$AECF$是矩形。
推理过程：
∵ $O$是$AC$的中点，
∴ $OA = OC$。
又∵ $OE = OF$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ $CE$平分$∠ BCA$，$CF$平分$∠ ACG$，
∴ $∠ OCE = \frac{1}{2}∠ BCA$，$∠ OCF = \frac{1}{2}∠ ACG$。
∵ $∠ BCA + ∠ ACG = 180°$，
∴ $∠ OCE + ∠ OCF = \frac{1}{2}(∠ BCA + ∠ ACG) = 90°$，即$∠ ECF = 90°$。
∴ 平行四边形$AECF$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

1. 在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$。若添加一个条件后，能够证得四边形 $ABCD$ 是矩形，则这个条件可以是()

A.$OA = OC$
B.$AC = AD$
C.$AB // CD$
D.$AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$

D

已知四边形$ABCD$是平行四边形，分析各选项：
选项A：平行四边形对角线互相平分，$OA=OC$是平行四边形的固有性质，无法判定为矩形；
选项B：$AC=AD$仅说明对角线与一边相等，不能推出平行四边形有直角或对角线相等，无法判定为矩形；
选项C：$AB//CD$是平行四边形的定义属性，无法判定为矩形；
选项D：由$AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$，根据勾股定理逆定理可得$∠ ABC=90°$，有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定为矩形。

2. 要验证一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是()

A.测量两条对角线是否相等
B.测量两个内角是否是 $90°$
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等

C

1. 分析选项A：仅四边形对角线相等不能判定为矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故A错误；
2. 分析选项B：四边形中两个内角为90°不能判定为矩形，例如直角梯形有两个直角但不是矩形，故B错误；
3. 分析选项C：对角线交点到四个顶点距离相等，说明对角线互相平分且相等，根据矩形判定定理，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故C正确；
4. 分析选项D：两组对边分别相等只能判定为平行四边形，无法确定是矩形，故D错误。