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二、填空题
3. 如图，将 $△ ABC$ 绕 $AC$ 的中点 $O$ 按顺时针方向旋转 $180°$，点 $B$ 的对应点为点 $D$，要使四边形 $ABCD$ 为矩形，则 $△ ABC$ 需满足的条件是。
3. 如图，将 $△ ABC$ 绕 $AC$ 的中点 $O$ 按顺时针方向旋转 $180°$，点 $B$ 的对应点为点 $D$，要使四边形 $ABCD$ 为矩形，则 $△ ABC$ 需满足的条件是。
答案
解：
∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°，点B的对应点为D，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
要使平行四边形ABCD为矩形，需满足$\boldsymbol{∠ABC=90°}$。
∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°，点B的对应点为D，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
要使平行四边形ABCD为矩形，需满足$\boldsymbol{∠ABC=90°}$。
4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$BC = 20$ cm，点 $P$ 和点 $Q$ 分别同时从点 $B$ 和点 $D$ 出发，按逆时针方向沿矩形 $ABCD$ 的边运动，点 $P$ 和点 $Q$ 的速度分别为 $4$ cm/s 和 $1$ cm/s，则最快 s 后，四边形 $ABPQ$ 成为矩形。
答案
4
解析
设经过$ t $秒后，四边形$ ABPQ $成为矩形。
因为四边形$ ABCD $是矩形，所以$ ∠ A = ∠ B = 90° $，$ AD // BC $，要使$ ABPQ $为矩形，需$ AQ = BP $。
由题意得：$ BP = 4t \, \mathrm{cm} $，$ DQ = t \, \mathrm{cm} $，则$ AQ = AD - DQ = 20 - t \, \mathrm{cm} $。
列方程：$ 20 - t = 4t $，
解得$ t = 4 $。
因为四边形$ ABCD $是矩形，所以$ ∠ A = ∠ B = 90° $，$ AD // BC $，要使$ ABPQ $为矩形，需$ AQ = BP $。
由题意得：$ BP = 4t \, \mathrm{cm} $，$ DQ = t \, \mathrm{cm} $，则$ AQ = AD - DQ = 20 - t \, \mathrm{cm} $。
列方程：$ 20 - t = 4t $，
解得$ t = 4 $。
三、解答题
5. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$M$ 是边 $AD$ 的中点，连接 $BM$，$CM$，且 $BM = CM$。求证：$□ ABCD$ 是矩形。
5. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$M$ 是边 $AD$ 的中点，连接 $BM$，$CM$，且 $BM = CM$。求证：$□ ABCD$ 是矩形。
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = DC，∠A + ∠D = 180°，
∵ M是AD的中点，
∴ AM = DM，
在△ABM和△DCM中，
$\{\begin{array}{l}AB = DC \\AM = DM \\BM = CM\end{array} $
∴ △ABM ≌ △DCM（SSS），
∴ ∠A = ∠D，
又∵ ∠A + ∠D = 180°，
∴ ∠A = ∠D = 90°，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A = 90°，
∴ □ABCD是矩形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = DC，∠A + ∠D = 180°，
∵ M是AD的中点，
∴ AM = DM，
在△ABM和△DCM中，
$\{\begin{array}{l}AB = DC \\AM = DM \\BM = CM\end{array} $
∴ △ABM ≌ △DCM（SSS），
∴ ∠A = ∠D，
又∵ ∠A + ∠D = 180°，
∴ ∠A = ∠D = 90°，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A = 90°，
∴ □ABCD是矩形。
6. 如图，在 $□ ABCD$ 中，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E$，点 $F$ 在边 $CD$ 上，且 $FC = AE$，连接 $BF$。求证：四边形 $DEBF$ 是矩形。
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB = CD。
∵ FC = AE，
∴ AB - AE = CD - FC，即 EB = DF。
又∵ EB//DF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEB = 90°，
∴ 平行四边形DEBF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB = CD。
∵ FC = AE，
∴ AB - AE = CD - FC，即 EB = DF。
又∵ EB//DF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEB = 90°，
∴ 平行四边形DEBF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
7. 如图，$AB = AC$，$AD = AE$，$DE = BC$，且 $∠ BAD = ∠ CAE$。求证：四边形 $BCDE$ 是矩形。
答案
证明：
∵ ∠BAD = ∠CAE，
∴ ∠BAD - ∠BAC = ∠CAE - ∠BAC，
即 ∠BAE = ∠CAD。
在△BAE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC, \\∠BAE = ∠CAD, \\AE = AD,\end{array} $
∴ △BAE ≌ △CAD（SAS），
∴ BE = CD。
又∵ DE = BC，
∴ 四边形BCDE是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB。
由△BAE ≌ △CAD，得∠ABE = ∠ACD，
∴ ∠ABE + ∠ABC = ∠ACD + ∠ACB，
即 ∠EBC = ∠DCB。
∵ 四边形BCDE是平行四边形，
∴ EB // DC，
∴ ∠EBC + ∠DCB = 180°，
∴ 2∠EBC = 180°，
∴ ∠EBC = 90°。
∴ 平行四边形BCDE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
∵ ∠BAD = ∠CAE，
∴ ∠BAD - ∠BAC = ∠CAE - ∠BAC，
即 ∠BAE = ∠CAD。
在△BAE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC, \\∠BAE = ∠CAD, \\AE = AD,\end{array} $
∴ △BAE ≌ △CAD（SAS），
∴ BE = CD。
又∵ DE = BC，
∴ 四边形BCDE是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB。
由△BAE ≌ △CAD，得∠ABE = ∠ACD，
∴ ∠ABE + ∠ABC = ∠ACD + ∠ACB，
即 ∠EBC = ∠DCB。
∵ 四边形BCDE是平行四边形，
∴ EB // DC，
∴ ∠EBC + ∠DCB = 180°，
∴ 2∠EBC = 180°，
∴ ∠EBC = 90°。
∴ 平行四边形BCDE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
8. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = CD = 6$，$BC = 10$，$AC = 8$，$∠ ABC = ∠ BCD$。过点 $D$ 作 $DE ⊥ BC$，垂足为 $E$，延长 $DE$ 至点 $F$，使 $EF = DE$，连接 $BF$，$CF$。
（1）求证：四边形 $ABFC$ 是矩形。
（2）求 $DE$ 的长。
（1）求证：四边形 $ABFC$ 是矩形。
（2）求 $DE$ 的长。
答案
（1）证明：
在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，
$\because 6^2 + 8^2 = 10^2$，即$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ BAC = 90°$。
$\because DE ⊥ BC$，$EF = DE$，
$\therefore BC$垂直平分$DF$，
$\therefore CD = CF$，$∠ BCD = ∠ BCF$。
$\because ∠ ABC = ∠ BCD$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BCF$，
$\therefore AB // CF$。
又$\because AB = CD$，$CD = CF$，
$\therefore AB = CF$，
$\therefore$四边形$ABFC$是平行四边形。
又$\because ∠ BAC = 90°$，
$\therefore$平行四边形$ABFC$是矩形。
（2）解：
$\because ∠ ABC = ∠ BCD$，$AB = CD$，$BC = CB$，
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB$（SAS），
$\therefore S_{△ DCB} = S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
$\because S_{△ DCB} = \frac{1}{2} × BC × DE$，$BC = 10$，
$\therefore \frac{1}{2} × 10 × DE = 24$，
解得$DE = \frac{24}{5}$。
在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，
$\because 6^2 + 8^2 = 10^2$，即$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ BAC = 90°$。
$\because DE ⊥ BC$，$EF = DE$，
$\therefore BC$垂直平分$DF$，
$\therefore CD = CF$，$∠ BCD = ∠ BCF$。
$\because ∠ ABC = ∠ BCD$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BCF$，
$\therefore AB // CF$。
又$\because AB = CD$，$CD = CF$，
$\therefore AB = CF$，
$\therefore$四边形$ABFC$是平行四边形。
又$\because ∠ BAC = 90°$，
$\therefore$平行四边形$ABFC$是矩形。
（2）解：
$\because ∠ ABC = ∠ BCD$，$AB = CD$，$BC = CB$，
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB$（SAS），
$\therefore S_{△ DCB} = S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
$\because S_{△ DCB} = \frac{1}{2} × BC × DE$，$BC = 10$，
$\therefore \frac{1}{2} × 10 × DE = 24$，
解得$DE = \frac{24}{5}$。
