二、填空题
3. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$. 若 $∠ AOD = 120°$，$AB = 6$，则 $BD$ 的长为.

解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AC=BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB$。
∵$∠AOD=120°$，
∴$∠AOB=180°-120°=60°$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$OB=AB=6$，
∴$BD=2OB=12$。
答：$BD$的长为$\boldsymbol{12}$。

4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$F$ 是边 $CD$ 上一点，将 $△ ADF$ 沿直线 $AF$ 折叠，点 $D$ 恰好落在边 $BC$ 上的点 $E$ 处. 若 $AB = 4$，$BC = 5$，则 $CF$ 的长为.

$\frac{3}{2}$

1. 由矩形性质得：$AD=BC=5$，$AB=CD=4$，$∠ B=∠ C=90°$。
2. 根据折叠性质：$AE=AD=5$，$EF=DF$。设$CF=x$，则$DF=4-x$，$EF=4-x$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，故$EC=BC-BE=5-3=2$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，由勾股定理得：$EC^2+CF^2=EF^2$，代入得$2^2+x^2=(4-x)^2$。
5. 解方程：$4+x^2=16-8x+x^2$，化简得$8x=12$，解得$x=\frac{3}{2}$。

三、解答题
5. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$BE ⊥ AC$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为 $E$，$F$. 求证：$AF = CE$.

证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AB=CD$，$AB// CD$，
∴ $∠ BAE=∠ DCF$，
∵ $BE⊥ AC$，$DF⊥ AC$，
∴ $∠ AEB=∠ CFD=90°$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ AEB=∠ CFD\\∠ BAE=∠ DCF\\AB=CD\end{array} $
∴ $△ ABE≌△ CDF$（AAS），
∴ $AE=CF$，
∵ $AF=AC-CF$，$CE=AC-AE$，
∴ $AF=CE$。

6. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $AB$ 上一点，$EF ⊥ CE$ 交 $AD$ 于点 $F$，且 $EF = CE$. 若 $BE = 2$，矩形 $ABCD$ 的周长为 $16$，求 $BC$ 的长.

解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠B=90°，$AB+BC=16÷2=8$，
∴ ∠AFE+∠AEF=90°，
∵ EF⊥CE，
∴ ∠FEC=90°，
∴ ∠BEC+∠AEF=90°，
∴ ∠AFE=∠BEC，
在△AFE和△BEC中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠B\\∠AFE=∠BEC\\EF=CE\end{array} $
∴ △AFE≌△BEC（AAS），
∴ AE=BC，
设BC=x，则AE=x，
∵ BE=2，∴ $AB=AE+BE=x+2$，
又∵ $AB+BC=8$，
∴ $(x+2)+x=8$，
解得$x=3$，
即BC的长为3。