例 1 如图 8.2.1，四边形 $ABCD$ 是矩形，点 $E$，$F$ 在边 $BC$ 上，且 $BE = CF$，连接 $AF$，$DE$ 相交于点 $O$. 求证：
(1) $AF = DE$；
(2) $OE = OF$.

证明：
(1) ∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AB = DC$，$∠ B = ∠ C = 90°$，
∵ $BE = CF$，
∴ $BE + EF = CF + EF$，即 $BF = CE$，
在$△ ABF$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}AB = DC \\∠ B = ∠ C \\BF = CE\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ DCE$（SAS），
∴ $AF = DE$；
(2) ∵ $△ ABF ≌ △ DCE$，
∴ $∠ AFB = ∠ DEC$，
∴ $OE = OF$（等角对等边）。

例 2 如图 8.2.2，过矩形 $ABCD$ 的顶点 $D$ 作 $DE // AC$，交 $BC$ 的延长线于点 $E$，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$.
(1) 求证：$∠ DBE = ∠ E$.
(2) 若 $AB = 4$，$AO = 2.5$，求矩形 $ABCD$ 的面积.

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形
∴ $AC=BD$，$AD// BC$
∵ $DE// AC$，$AD// CE$
∴ 四边形$ACED$是平行四边形
∴ $AC=DE$
∴ $BD=DE$
∴ $∠ DBE=∠ E$
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是矩形
∴ $∠ ABC=90°$，$AC=2AO$
∵ $AO=2.5$
∴ $AC=2×2.5=5$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=4$，$AC=5$
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
∴ 矩形$ABCD$的面积$=AB× BC=4×3=12$
答：矩形$ABCD$的面积为12。

1. 下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是()

A.对边平行且相等
B.对角线相等
C.任意两个邻角互补
D.对角线互相平分

B

平行四边形的性质包括对边平行且相等、对角线互相平分、邻角互补；矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有对角线相等的特殊性质。分析选项：A、C、D是平行四边形的基本性质，矩形和一般平行四边形都具有；B选项“对角线相等”是矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质。