1. （2024·北京）在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知抛物线 $ y = ax^2 - 2a^2x (a ≠ 0) $。
（1）当 $ a = 1 $ 时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知 $ M(x_1, y_1) $ 和 $ N(x_2, y_2) $ 是抛物线上的两点，若对于 $ x_1 = 3a, 3 ≤ x_2 ≤ 4 $，都有 $ y_1 ＜ y_2 $，求 $ a $ 的取值范围。

（1）当$a = 1$时，抛物线解析式为$y = x^2 - 2x$。
$\because y = x^2 - 2x=(x - 1)^2 - 1$，
$\therefore$顶点坐标为$(1,-1)$。
（2）$\because M(3a,y_1)$在抛物线上，
$\therefore y_1 = a(3a)^2 - 2a^2(3a)=9a^3 - 6a^3 = 3a^3$。
$N(x_2,y_2)$满足$y_2 = ax_2^2 - 2a^2x_2$，$3≤ x_2≤4$。
由$y_1＜y_2$得$3a^3＜ax_2^2 - 2a^2x_2$，
即$a(x_2^2 - 2ax_2 - 3a^2)＞0$，$a(x_2 - 3a)(x_2 + a)＞0$。
①当$a＞0$时，$(x_2 - 3a)(x_2 + a)＞0$。
$\because x_2\in[3,4]$，$x_2 + a＞0$，
$\therefore x_2 - 3a＞0$恒成立，即$3a＜3$，$\therefore a＜1$。
故$0＜a＜1$。
②当$a＜0$时，$(x_2 - 3a)(x_2 + a)＜0$。
$\because a＜0$，$3a＜0$，$-a＞0$，解集为$3a＜x_2＜-a$。
$\because x_2\in[3,4]$，$\therefore 4＜-a$，即$a＜-4$。
综上，$a$的取值范围是$a＜-4$或$0＜a＜1$。