2. (2023·南京一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线 $ y = x^2 + (k - 2)x + 3 $。
(1)该抛物线经过的定点的坐标为；
(2)已知 $ P(m, n) $ 是该抛物线上一点，当点 $ P $ 在抛物线上运动时，$ n $ 存在最小值 $ N $。
① 若 $ N = 3 $，求 $ k $ 的值；
② 若 $ -1 ＜ k ＜ 3 $，结合该抛物线，直接写出 $ N $ 的取值范围。

(1)(0,3)
(2)①∵抛物线$y=x^2+(k-2)x+3$开口向上，顶点纵坐标为最小值$N$，
顶点纵坐标$N=\frac{4×1×3-(k-2)^2}{4×1}=\frac{12-(k-2)^2}{4}$，
∵$N=3$，∴$\frac{12-(k-2)^2}{4}=3$，
$12-(k-2)^2=12$，$(k-2)^2=0$，$k=2$。
②$N=\frac{12-(k-2)^2}{4}$，$-1＜k＜3$，则$-3＜k-2＜1$，
设$t=k-2$，$t\in(-3,1)$，$t^2\in[0,9)$，
$12-t^2\in(3,12]$，$N=\frac{12-t^2}{4}\in(\frac{3}{4},3]$，
∴$N$的取值范围是$\frac{3}{4}＜N≤3$。