例 5 （2023·云南）在平面直角坐标系中，若某点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点。设函数 $ y = (4a + 2)x^2 + (9 - 6a)x - 4a + 4 (a $ 为常数）的图象为图象 $ T $。
（1）求证：无论 $ a $ 取什么实数，图象 $ T $ 与 $ x $ 轴总有公共点。
（2）是否存在整数 $ a $，使图象 $ T $ 与 $ x $ 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数 $ a $ 的值；若不存在，请说明理由。
分析 （1）分 $ 4a + 2 = 0 $ 和 $ 4a + 2 ≠ 0 $ 两种情况讨论即可；
（2）求出图象 $ T $ 与 $ x $ 轴交点的横坐标，将问题转化为数的整除问题即可。

（1）当$4a + 2 = 0$，即$a=-\frac{1}{2}$时，函数为$y = 12x + 6$，与$x$轴交于$(-\frac{1}{2},0)$，有公共点；当$4a + 2 ≠ 0$时，$\Delta=(10a - 7)^2≥0$，二次函数与$x$轴总有公共点。综上，无论$a$取何值，图象$T$与$x$轴总有公共点。
（2）存在。当$a≠-\frac{1}{2}$时，交点横坐标为$x=\frac{4a - 4}{2a + 1}=2-\frac{6}{2a + 1}$。令$2a + 1$整除$6$，且$2a + 1$为奇数，得$2a + 1=\pm1,\pm3$，解得$a=-2,-1,0,1$。整数$a$的值为$-2,-1,0,1$。