例 4 （2024·山东）在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ P(2, -3) $ 在二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3 (a ＞ 0) $ 的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线 $ x = m $。
（1）求 $ m $ 的值。
（2）若点 $ Q(m, -4) $ 在二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3 $ 的图象上，将该二次函数的图象向上平移 $ 5 $ 个单位长度，得到新的二次函数的图象。当 $ 0 ≤ x ≤ 4 $ 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和。
（3）设二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3 $ 的图象与 $ x $ 轴交点的坐标为 $ (x_1, 0) $，$ (x_2, 0) (x_1 ＜ x_2) $。若 $ 4 ＜ x_2 - x_1 ＜ 6 $，求 $ a $ 的取值范围。
分析 （1）把点 $ P(2, -3) $ 代入 $ y = ax^2 + bx - 3 $，可得 $ b $ 与 $ a $ 的关系，再利用抛物线的对称轴公式可得 $ m $ 的值；
（2）根据平移的性质得到新的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）依据 $ x_2 - x_1 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2} = \sqrt{(x_2 + x_1)^2 - 4x_1x_2} $，结合 $ x_1 + x_2, x_1x_2 $ 建立不等式求解即可。

（1）
把点$P(2,-3)$代入$y = ax^{2}+bx - 3$，得：
$4a + 2b-3=-3$，
$4a + 2b=0$，
$2a + b = 0$，$b=-2a$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，则$m =-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$。
（2）
由（1）知对称轴$x = 1$，点$Q(1,-4)$在二次函数$y = ax^{2}+bx - 3$图象上，把$Q(1,-4)$代入$y = ax^{2}+bx - 3$，得$a + b-3=-4$，又$b = - 2a$，则$a-2a-3=-4$，解得$a = 1$，$b=-2$，所以原二次函数为$y=x^{2}-2x - 3$。
将该二次函数图象向上平移$5$个单位长度，得到新二次函数$y=x^{2}-2x + 2$。
对于二次函数$y=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1$，其对称轴为$x = 1$，$a = 1＞0$，图象开口向上。
当$0≤ x≤4$时，$x = 1$时，$y_{min}=1$；$x = 4$时，$y=4^{2}-2×4 + 2=10$，$y_{max}=10$。
所以$y_{max}+y_{min}=1 + 10=11$。
（3）
对于二次函数$y = ax^{2}+bx - 3$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{3}{a}$，因为$b=-2a$，所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{-2a}{a}=2$。
$x_{2}-x_{1}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{2^{2}-4×(-\frac{3}{a})}=\sqrt{4+\frac{12}{a}}$。
因为$4＜ x_{2}-x_{1}＜6$，所以$4＜\sqrt{4+\frac{12}{a}}＜6$。
由$\sqrt{4+\frac{12}{a}}＞4$，两边平方得$4+\frac{12}{a}＞16$，$\frac{12}{a}＞12$，因为$a＞0$，所以$0＜ a＜1$。
由$\sqrt{4+\frac{12}{a}}＜6$，两边平方得$4+\frac{12}{a}＜36$，$\frac{12}{a}＜32$，$\frac{3}{a}＜8$，$a＞\frac{3}{8}$。
所以$\frac{3}{8}＜ a＜1$。
综上，答案依次为：（1）$m = 1$；（2）$11$；（3）$\frac{3}{8}＜ a＜1$。