例 3 （2024·安徽）已知抛物线 $ y = -x^2 + bx (b $ 为常数）的顶点横坐标比抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 的顶点横坐标大 $ 1 $。
（1）求 $ b $ 的值；
（2）点 $ A(x_1, y_1) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 上，点 $ B(x_1 + t, y_1 + h) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + bx $ 上。
① 若 $ h = 3t $，且 $ x_1 ≥ 0, t ＞ 0 $，求 $ h $ 的值；
② 若 $ x_1 = t - 1 $，求 $ h $ 的最大值。
分析 （1）根据顶点横坐标的关系建立关于 $ b $ 的方程，求出 $ b $ 的值即可；
（2）① 将抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 的对称轴向右平移 $ t $ 个单位长度，得抛物线 $ y = -x^2 + bx $ 的对称轴，可求出 $ t $ 的值，再求出 $ h $ 的值即可；② 分别用含 $ t $ 的式子表示出 $ y_B $ 和 $ y_1 $，根据 $ h = y_B - y_1 $ 得出关于 $ t $ 的二次函数，利用函数性质求出 $ h $ 的最大值即可。

（1）对于抛物线$y=-x^2+2x$，其顶点横坐标为$-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
抛物线$y=-x^2+bx$的顶点横坐标为$\frac{b}{2}$，依题意$\frac{b}{2}=1+1$，解得$b=4$。
（2）① 点$A(x_1,y_1)$在$y=-x^2+2x$上，故$y_1=-x_1^2+2x_1$。
点$B(x_1+t,y_1+h)$在$y=-x^2+4x$上，故$y_1+h=-(x_1+t)^2+4(x_1+t)$。
联立得：$h=-(x_1+t)^2+4(x_1+t)-(-x_1^2+2x_1)=-2x_1t-t^2+2x_1+4t$。
因$h=3t$，则$3t=-2x_1t-t^2+2x_1+4t$，整理得$(1-t)(t+2x_1)=0$。
$\because t＞0,x_1≥0$，$\therefore t+2x_1＞0$，故$1-t=0$，$t=1$，$h=3t=3$。
② 当$x_1=t-1$时，代入$h=-2x_1t-t^2+2x_1+4t$，得$h=-2(t-1)t-t^2+2(t-1)+4t=-3t^2+8t-2$。
二次函数$h=-3t^2+8t-2$开口向下，对称轴$t=\frac{4}{3}$，当$t=\frac{4}{3}$时，$h_{\mathrm{max}}=-3(\frac{4}{3})^2+8(\frac{4}{3})-2=\frac{10}{3}$。
（1）$b=4$；（2）① $h=3$；② $h$的最大值为$\frac{10}{3}$。