例 2 （2024·浙江）已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c (b, c $ 为常数）的图象经过点 $ A(-2, 5) $，对称轴为直线 $ x = -\dfrac{1}{2} $。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点 $ B(1, 7) $ 向上平移 $ 2 $ 个单位长度，再向左平移 $ m (m ＞ 0) $ 个单位长度后，恰好落在 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象上，求 $ m $ 的值；
（3）当 $ -2 ≤ x ≤ n $ 时，二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的最大值与最小值的差为 $ \dfrac{9}{4} $，求 $ n $ 的取值范围。
分析 （1）根据条件建立关于 $ b, c $ 的二元一次方程组，求出 $ b, c $ 的值即可；
（2）将平移后的点的坐标 $ (1 - m, 9) $ 代入（1）中的解析式，即可求出 $ m $ 的值即可；
（3）分 $ n ＜ -\dfrac{1}{2} $，$ -\dfrac{1}{2} ≤ n ≤ 1 $ 和 $ n ＞ 1 $ 三种情形讨论，来确定 $ n $ 的取值范围。

（1）$y=x^2+x+3$；（2）$m=4$；（3）$-\frac{1}{2}≤ n≤1$。

（1）∵二次函数$y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，且$a=1$，
∴$-\frac{b}{2×1}=-\frac{1}{2}$，解得$b=1$。
∵函数图象过点$A(-2,5)$，
∴$(-2)^2+(-2)+c=5$，即$4-2+c=5$，解得$c=3$。
∴二次函数解析式为$y=x^2+x+3$。
（2）点$B(1,7)$向上平移2个单位，纵坐标变为$7+2=9$；向左平移$m$个单位，横坐标变为$1-m$，平移后点坐标为$(1-m,9)$。
∵该点在抛物线上，
∴$(1-m)^2+(1-m)+3=9$，
整理得$m^2-3m-4=0$，
解得$m=4$或$m=-1$，
∵$m＞0$，∴$m=4$。
（3）二次函数$y=x^2+x+3$开口向上，对称轴为$x=-\frac{1}{2}$，最小值为$y=(-\frac{1}{2})^2+(-\frac{1}{2})+3=\frac{11}{4}$。
①当$n＜-\frac{1}{2}$时，区间$[-2,n]$单调递减，最大值为$x=-2$时$y=5$，最小值为$x=n$时$y=n^2+n+3$，
$5-(n^2+n+3)=\frac{9}{4}$，解得$n=-\frac{1}{2}$（舍去）；
②当$-\frac{1}{2}≤ n≤1$时，最大值为$x=-2$时$y=5$，最小值为$\frac{11}{4}$，$5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$，符合题意；
③当$n＞1$时，最大值为$x=n$时$y=n^2+n+3$，最小值为$\frac{11}{4}$，
$n^2+n+3-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$，解得$n=1$（舍去）。
综上，$n$的取值范围是$-\frac{1}{2}≤ n≤1$。