例1 计算：
(1) $ 2\sqrt{3}(\sqrt{12}-\sqrt{75}+\frac{1}{3}\sqrt{108}) $；
(2) $ (\sqrt{a^{3}b}-\sqrt{ab^{3}})\sqrt{ab} $；
(3) $ (\sqrt{2}-\sqrt{12})(\sqrt{18}+\sqrt{48}) $.
【思路导析】可先将各二次根式化成最简二次根式，然后按二次根式的混合运算顺序计算.
【请你解答】

(1)
首先化简各二次根式：
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3},$
$\sqrt{75} = 5\sqrt{3},$
$\frac{1}{3}\sqrt{108} = \frac{1}{3} × 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}.$
然后，将化简后的二次根式代入原式进行计算：
$2\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{75} + \frac{1}{3}\sqrt{108}) = 2\sqrt{3}(2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3})$
$= 2\sqrt{3} × (-\sqrt{3})$
$= -6.$
(2)
首先化简各二次根式：
$\sqrt{a^{3}b} = a\sqrt{ab},$
$\sqrt{ab^{3}} = b\sqrt{ab}.$
然后，将化简后的二次根式代入原式进行计算：
$(\sqrt{a^{3}b} - \sqrt{ab^{3}})\sqrt{ab} = (a\sqrt{ab} - b\sqrt{ab})\sqrt{ab}$
$= a · ab - b · ab$
$= a^{2}b - ab^{2}.$
(3)
首先化简各二次根式：
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3},$
$\sqrt{18} = 3\sqrt{2},$
$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}.$
然后，将化简后的二次根式代入原式进行计算：
$(\sqrt{2} - \sqrt{12})(\sqrt{18} + \sqrt{48}) = (\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 4\sqrt{3})$
$= \sqrt{2} × 3\sqrt{2} + \sqrt{2} × 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} × 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} × 4\sqrt{3}$
$= 6 + 4\sqrt{6} - 6\sqrt{6} - 24$
$= -18 - 2\sqrt{6}.$

例2 计算：
(1) $ (2\sqrt{7}+5\sqrt{2})(5\sqrt{2}-2\sqrt{7}) $；
(2) $ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2} $.
【思路导析】(1)运用平方差公式化简；
(2)利用幂的运算性质进行计算.
【请你解答】

(1)
$\begin{aligned}&(2\sqrt{7} + 5\sqrt{2})(5\sqrt{2} - 2\sqrt{7}) \\&= (5\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{7})^2 \\&= 50 - 28 \\&= 22\end{aligned}$(2)
$\begin{aligned}&(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{3}(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2} \\&= [(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})]^{2} × (\sqrt{3} + \sqrt{2}) \\&= (3 - 2)^{2} × (\sqrt{3} + \sqrt{2}) \\&= 1 × (\sqrt{3} + \sqrt{2}) \\&= \sqrt{3} + \sqrt{2}\end{aligned}$

例3 已知 $ a = 2 - \sqrt{3} $，求代数式 $ (7 + 4\sqrt{3})a^{2} + (2 + \sqrt{3})a + \sqrt{13} $的值.
【探究点拨】由 $ a = 2 - \sqrt{3} $可求出 $ a^{2} $的值，然后将 $ a $和 $ a^{2} $的值代入 $ (7 + 4\sqrt{3})a^{2} + (2 + \sqrt{3})a + \sqrt{13} $中可求其结果.
【规范解答】由 $ a = 2 - \sqrt{3} $得，
$ a^{2} = (2 - \sqrt{3})^{2} = 7 - 4\sqrt{3} $，（两边同时平方）
所以 $ (7 + 4\sqrt{3})a^{2} + (2 + \sqrt{3})a + \sqrt{13} $
$ = (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) + \sqrt{13} $（代入计算）
$ = 49 - 48 + 4 - 3 + \sqrt{13} $（利用平方差公式）
$ = 2 + \sqrt{13} $.

$ 2 + \sqrt{13} $

由 $ a = 2 - \sqrt{3} $ 得，
$ a^{2} = (2 - \sqrt{3})^{2} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} $，
则 $ (7 + 4\sqrt{3})a^{2} + (2 + \sqrt{3})a + \sqrt{13} $
$ = (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) + \sqrt{13} $
$ = 7^{2} - (4\sqrt{3})^{2} + 2^{2} - (\sqrt{3})^{2} + \sqrt{13} $
$ = 49 - 48 + 4 - 3 + \sqrt{13} $
$ = 2 + \sqrt{13} $。

1. 下列计算：① $ (\sqrt{2})^{2} = 2 $，② $ \sqrt{(-2)^{2}} = 2 $，③ $ (-2\sqrt{3})^{2} = 12 $，④ $ (\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = -1 $，其中结果正确的个数为()

A.1
B.2
C.3
D.4

D

① $(\sqrt{2})^{2} = 2$，计算正确。
② $\sqrt{(-2)^{2}} = \sqrt{4} = 2$，计算正确。
③ $(-2\sqrt{3})^{2} = (-2)^{2} · (\sqrt{3})^{2} = 4 · 3 = 12$，计算正确。
④ $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^{2} - (\sqrt{3})^{2} = 2 - 3 = -1$，计算正确。
所有4个计算均正确。

2. 计算： $ (\sqrt{2} + 1)^{2025}(\sqrt{2} - 1)^{2026} $的结果是()

A.1
B.-1
C.$ \sqrt{2} + 1 $
D.$ \sqrt{2} - 1 $

D

根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，得到$(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 2 - 1 = 1$。
将原式$(\sqrt{2} + 1)^{2025}(\sqrt{2} - 1)^{2026}$变形为$[(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)]^{2025}×(\sqrt{2} - 1)$。
把$(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 1$代入上式，可得$1^{2025}×(\sqrt{2} - 1)=\sqrt{2} - 1$。