5.5 用二次函数解决问题(1)
1. 如图，用一段长 18 m 的塑钢型材制作一个上部为一段圆弧、下部是矩形的窗框. 试问矩形窗框的宽和高各为多少时，该窗框的透光面积最大(精确到 0.1 m，塑钢型材的厚度及接头均忽略不计)?

解：设下部矩形窗框的宽为​2xm，​则上部圆弧窗框的半径为$​\sqrt 2xm​$圆弧长为$​\frac {\sqrt 2}2πxm$，​矩形窗框的高为$​\frac 12(18-\frac {\sqrt 2}2πx-4x)m​$透光面积为$​S=\frac 14π(\sqrt 2x)^2+2x\ \mathrm {·} \frac 12(18-4x-\frac 12π · \sqrt 2x)-\frac 12x\ \mathrm {·} 2x​$$​=-(5+\frac {\sqrt 2}2π-\frac 12π)x^2+18x​$当$​x=-\frac {18}{-2(5+\frac {\sqrt 2}2π-\frac 12π)}=\frac {18}{10+(\sqrt 2-1)π}≈1.6​$时，​S ​的值最大∴​2x=3.2，$​​\frac 12(18-\frac {\sqrt 2}2πx-4x)=4​$答：当矩形窗框宽是​3.2m，​高是​4m ​时，该窗框的透光面积最大。

1. 如图，用一段长 18 m 的塑钢型材制作一个上部为一段圆弧、下部是矩形的窗框. 试问矩形窗框的宽和高各为多少时，该窗框的透光面积最大(精确到 0.1 m，塑钢型材的厚度及接头均忽略不计)?

解：设下部矩形窗框的宽为​2xm，​则上部圆弧窗框的半径为$​\sqrt 2xm​$圆弧长为$​\frac {\sqrt 2}2πxm$，​矩形窗框的高为$​\frac 12(18-\frac {\sqrt 2}2πx-4x)m​$透光面积为$​S=\frac 14π(\sqrt 2x)^2+2x\ \mathrm {·} \frac 12(18-4x-\frac 12π · \sqrt 2x)-\frac 12x\ \mathrm {·} 2x​$$​=-(5+\frac {\sqrt 2}2π-\frac 12π)x^2+18x​$当$​x=-\frac {18}{-2(5+\frac {\sqrt 2}2π-\frac 12π)}=\frac {18}{10+(\sqrt 2-1)π}≈1.6​$时，​S ​的值最大
∴​2x=3.2，$​​\frac 12(18-\frac {\sqrt 2}2πx-4x)=4​$答：当矩形窗框宽是​3.2m，​高是​4m ​时，该窗框的透光面积最大。

2. 将进货单价为 40 元的仿古瓷瓶按每个 50 元销售时能卖出 500 个. 市场调研人员获悉，如果此类瓷瓶每个涨价 1 元，那么销售量就会减少 10 个. 为了获取最大利润，销售商应将瓷瓶的销售单价定为多少元?

解：设每个仿古瓷瓶涨价​x​元，即每个仿古瓷瓶售价为​(50+x)​元
销量为​(500-10x)​个
则利润​y=(50+x)(500-10x)-40(500-10x)​
$​=-10(x-20)^2+9000​$
∴​x=20​时，利润​y​取得最大值
∴​50+x=70​
答：应将瓷瓶的销售单价定为​70​元。

【解析】
设每个仿古瓷瓶涨价$x$元，即每个仿古瓷瓶售价为$(50+x)$元，此时销量为$(500-10x)$个。
利润$y=(50+x)(500-10x)-40(500-10x)$，化简可得：
$y=-10(x-20)^2+9000$
因为二次项系数$-10＜0$，所以当$x=20$时，利润$y$取得最大值。
此时销售单价为$50+x=50+20=70$元。
【答案】
70元
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数在实际利润问题中的应用，解题关键是根据题意建立利润的二次函数模型，通过配方法求出二次函数的最值，进而确定最优销售单价。