3. 某农机租赁公司有 30 台农用车出租，若每车每天收费 500 元，可全部租出；若每车每天提价 50 元，则有 1 台车租不出去；若每车每天再提价 50 元，则又有 1 台车租不出去. 按此市场行情推算，每车每天提价多少才能使该公司获得最大收益？最大收益为多少元?

解：设每车每天提价​50x​元，收益为​y​元，
则每车每天收费为​(500+50x)​元
每天租出的台数为​(30-x)，​则​y=(500+50x)(30-x)​
∴$​y=-50(x-10)^2+20000​$
当​x=10​时，​y​取最大值​20000​
​50x=500​
答：每车每天提价​500​元时，可获得最大收益，
最大收益为​20000​元。

【解析】
设每车每天提价50x元，收益为y元。
则每车每天收费为$(500+50x)$元，每天租出的台数为$(30-x)$台，根据收益=每车收费×租出台数，可得：
$y=(500+50x)(30-x)$
展开并配方得：
$y=-50(x-10)^2+20000$
因为$-50＜0$，所以当$x=10$时，$y$取得最大值20000。
此时$50x=50×10=500$（元）。
【答案】
每车每天提价500元才能使该公司获得最大收益，最大收益为20000元。
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的应用，解题关键是通过设未知数建立二次函数模型，利用配方法求出函数最值，需准确梳理收费、租出台数与提价金额间的数量关系。

1. 重建于 1844 年的迎仙桥，坐落于浙闽古干道、距新昌县城东南 15 km 的桃树坞村. 该桥为单孔石拱桥，桥拱可近似看作抛物线形. 已知桥拱跨度约 15 m，拱高约 7 m，建立恰当的平面直角坐标系，并求该抛物线相应的二次函数表达式.

解：如图建立平面直角坐标系

设抛物线形桥拱相应的二次函数表达式为$​y=ax^2(-\frac {15}{2}≤x≤\frac {15}{2})​$
则由题意，点$​(\frac {15}{2}$，​​-7)​在抛物线上
∴$​-7=a×(\frac {15}{2})^2$，$​​a=-\frac {28}{225}​$
∴抛物线相应的函数表达式为$​y=-\frac {28}{225}x^2(-\frac {15}{2}≤x≤\frac {15}{2})​$

【解析】
以桥拱的顶点为原点，过顶点的水平线为x轴，竖直直线为y轴建立平面直角坐标系。设抛物线形桥拱相应的二次函数表达式为$y=ax^2(-\frac{15}{2}≤ x≤\frac{15}{2})$。
由题意可知，点$(\frac{15}{2}, -7)$在抛物线上，将其代入函数表达式得：
$-7=a×(\frac{15}{2})^2$，
解得$a=-\frac{28}{225}$，
因此该抛物线相应的二次函数表达式为$y=-\frac{28}{225}x^2(-\frac{15}{2}≤ x≤\frac{15}{2})$。
【答案】
$y=-\frac{28}{225}x^2(-\frac{15}{2}≤ x≤\frac{15}{2})$
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题通过建立平面直角坐标系将实际桥拱问题转化为二次函数问题，运用待定系数法求解函数表达式，体现了数学建模思想，提升了用数学知识解决实际问题的能力。