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2. 如图，一座拱桥，当桥下的水面宽度 $ AB $ 是 20 m 时，拱高 $ CD $ 是 4 m. 若水面上升 3 m 至 $ EF $，试解答下列问题.
(1) 若把桥拱看作抛物线的一部分，试用二次函数的有关知识，求这条抛物线相应的函数表达式，并计算 $ EF $ 的长.
(2) 若把桥拱看作圆的一部分，试用圆的有关知识，求 $ EF $ 的长.
(3) 用上述两种方法求出的 $ EF $ 的长相差多少？(精确到 0.1 m)
(1) 若把桥拱看作抛物线的一部分，试用二次函数的有关知识，求这条抛物线相应的函数表达式，并计算 $ EF $ 的长.
(2) 若把桥拱看作圆的一部分，试用圆的有关知识，求 $ EF $ 的长.
(3) 用上述两种方法求出的 $ EF $ 的长相差多少？(精确到 0.1 m)
答案
解：(1)以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系
则B点坐标为(10，0)
设抛物线$y=ax^2+4$，将点B代入可得$a=-\frac {1}{25}$
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac {1}{25}x^2+4$
当y=3时，$x_{1}= -5 $，$x_{2}=5$
∴EF=10m
(2)设圆的半径为rm，圆心为O
在Rt△OCB中，$r^2=(r-4)^2+10^2$，r=14.5
当水面上升$3m_{至}EF $时，设EF 与CD的交点为G
在$Rt△OGF_{中}$，可求得$GF=2\sqrt 7$
即水面宽度$EF=4\sqrt 7(\mathrm {m})$
(3)|$10-4\sqrt 7$|≈0.6
即两种算法求出EF 的长的差约为0.6m
则B点坐标为(10，0)
设抛物线$y=ax^2+4$，将点B代入可得$a=-\frac {1}{25}$
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac {1}{25}x^2+4$
当y=3时，$x_{1}= -5 $，$x_{2}=5$
∴EF=10m
(2)设圆的半径为rm，圆心为O
在Rt△OCB中，$r^2=(r-4)^2+10^2$，r=14.5
当水面上升$3m_{至}EF $时，设EF 与CD的交点为G
在$Rt△OGF_{中}$，可求得$GF=2\sqrt 7$
即水面宽度$EF=4\sqrt 7(\mathrm {m})$
(3)|$10-4\sqrt 7$|≈0.6
即两种算法求出EF 的长的差约为0.6m
解析
【解析】
(1) 以$AB$所在直线为$x$轴，$CD$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，则$B$点坐标为$(10, 0)$。设抛物线的函数表达式为$y=ax^2+4$，将点$B(10, 0)$代入得$0=a×10^2+4$，解得$a=-\frac{1}{25}$，因此抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2+4$。当水面上升3m至$EF$时，对应$y=3$，代入函数表达式得$3=-\frac{1}{25}x^2+4$，解得$x_1=-5$，$x_2=5$，故$EF=5-(-5)=10\ \mathrm{m}$。
(2) 设圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，圆心为$O$。在$Rt△ OCB$中，由勾股定理得$r^2=(r-4)^2+10^2$，展开计算解得$r=14.5$。当水面上升3m至$EF$时，$EF$与$CD$交于$G$，则$OG=14.5-(4-3)=13.5\ \mathrm{m}$，在$Rt△ OGF$中，由勾股定理得$GF=\sqrt{14.5^2-13.5^2}=2\sqrt{7}\ \mathrm{m}$，因此$EF=2GF=4\sqrt{7}\ \mathrm{m}$。
(3) 计算$|10-4\sqrt{7}|$，其中$4\sqrt{7}\approx9.4$，则$|10-9.4|\approx0.6\ \mathrm{m}$，即两种方法求出的$EF$的长相差约0.6m。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{25}x^2+4}$，$EF$的长为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；
(2) $EF$的长为$\boldsymbol{4\sqrt{7}\ \mathrm{m}}$（约$\boldsymbol{9.4\ \mathrm{m}}$）；
(3) 两种方法求出的$EF$的长相差约$\boldsymbol{0.6\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
二次函数的应用、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题将实际拱桥问题转化为二次函数与圆的几何模型，综合考查了二次函数解析式求解、圆的垂径定理与勾股定理的应用，体现了数学建模思想在实际问题中的运用，解题时需合理利用几何性质与代数运算求解。
(1) 以$AB$所在直线为$x$轴，$CD$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，则$B$点坐标为$(10, 0)$。设抛物线的函数表达式为$y=ax^2+4$，将点$B(10, 0)$代入得$0=a×10^2+4$，解得$a=-\frac{1}{25}$，因此抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2+4$。当水面上升3m至$EF$时，对应$y=3$，代入函数表达式得$3=-\frac{1}{25}x^2+4$，解得$x_1=-5$，$x_2=5$，故$EF=5-(-5)=10\ \mathrm{m}$。
(2) 设圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，圆心为$O$。在$Rt△ OCB$中，由勾股定理得$r^2=(r-4)^2+10^2$，展开计算解得$r=14.5$。当水面上升3m至$EF$时，$EF$与$CD$交于$G$，则$OG=14.5-(4-3)=13.5\ \mathrm{m}$，在$Rt△ OGF$中，由勾股定理得$GF=\sqrt{14.5^2-13.5^2}=2\sqrt{7}\ \mathrm{m}$，因此$EF=2GF=4\sqrt{7}\ \mathrm{m}$。
(3) 计算$|10-4\sqrt{7}|$，其中$4\sqrt{7}\approx9.4$，则$|10-9.4|\approx0.6\ \mathrm{m}$，即两种方法求出的$EF$的长相差约0.6m。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{25}x^2+4}$，$EF$的长为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；
(2) $EF$的长为$\boldsymbol{4\sqrt{7}\ \mathrm{m}}$（约$\boldsymbol{9.4\ \mathrm{m}}$）；
(3) 两种方法求出的$EF$的长相差约$\boldsymbol{0.6\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
二次函数的应用、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题将实际拱桥问题转化为二次函数与圆的几何模型，综合考查了二次函数解析式求解、圆的垂径定理与勾股定理的应用，体现了数学建模思想在实际问题中的运用，解题时需合理利用几何性质与代数运算求解。
3. 某喷灌设备的喷头高出地面 1.2 m，喷出的抛物线形水流在离喷头底部的水平距离 4 m 时达到最大高度，水流落地点与喷头底部的水平距离为 10 m. 求该喷灌设备喷出的抛物线形水流距地面的最大高度.
答案
解：建立如图的平面直角坐标系
设抛物线形水流相应的二次函数表达式为$y=ax^2+bx+c$
∵点(0，1.2)、(10，0)在函数图像上
且函数图像的对称轴是过点(4，0)且平行于y轴的直线
∴$\begin {cases}{c=1.2}\\{100a+10b+c=0}\\{-\dfrac b{2a}=4}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{a=-0.06}\\{b=0.48}\\{c=1.2}\end {cases}$
∴$y=-0.06x^2+0.48x+1.2$
当x=4时，y=2.16
答：喷灌设备喷出的抛物线形水流距地面的最大高度为2.16m。
解析
【解析】
建立平面直角坐标系，设抛物线形水流对应的二次函数表达式为$y=ax^2+bx+c$。
∵点$(0,1.2)$、$(10,0)$在函数图像上，且函数图像的对称轴是过点$(4,0)$且平行于$y$轴的直线，
∴可得方程组：$\begin{cases}c=1.2\\100a+10b+c=0\\-\dfrac{b}{2a}=4\end{cases}$
解该方程组，得$\begin{cases}a=-0.06\\b=0.48\\c=1.2\end{cases}$
则二次函数表达式为$y=-0.06x^2+0.48x+1.2$。
当$x=4$时，代入表达式计算得$y=2.16$，即水流距地面的最大高度为2.16m。
【答案】
2.16m
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值
【点评】
本题通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题，关键是利用函数图像上的点和对称轴确定二次函数表达式，进而求出水流最大高度，体现了数学建模思想的实际应用。
建立平面直角坐标系，设抛物线形水流对应的二次函数表达式为$y=ax^2+bx+c$。
∵点$(0,1.2)$、$(10,0)$在函数图像上，且函数图像的对称轴是过点$(4,0)$且平行于$y$轴的直线，
∴可得方程组：$\begin{cases}c=1.2\\100a+10b+c=0\\-\dfrac{b}{2a}=4\end{cases}$
解该方程组，得$\begin{cases}a=-0.06\\b=0.48\\c=1.2\end{cases}$
则二次函数表达式为$y=-0.06x^2+0.48x+1.2$。
当$x=4$时，代入表达式计算得$y=2.16$，即水流距地面的最大高度为2.16m。
【答案】
2.16m
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值
【点评】
本题通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题，关键是利用函数图像上的点和对称轴确定二次函数表达式，进而求出水流最大高度，体现了数学建模思想的实际应用。
