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2. 利用函数图像，解下列一元二次方程.
(1) $ x^{2} + x - 2 = 0 $；(2) $ x^{2} - 6x + 9 = 0 $；(3) $ x^{2} + 6x + 10 = 0 $.
(1) $ x^{2} + x - 2 = 0 $；(2) $ x^{2} - 6x + 9 = 0 $；(3) $ x^{2} + 6x + 10 = 0 $.
答案
解：画出函数图像如图所示
由图可知$(1)x^2+x-2=0$的解为$x_{1}=-2$，$x_{2}=1$
$(2)x^2-6x+9=0$的解为$x_{1}=x_{2}=3$
$(3)x^2+6x+10=0$的解为无解
解析
【解析】
先分别画出对应二次函数$y=x^2+x-2$、$y=x^2-6x+9$、$y=x^2+6x+10$的图像：
1. 方程$x^2+x-2=0$的解为函数$y=x^2+x-2$图像与x轴交点的横坐标，由图像可知交点为$(-2,0)$和$(1,0)$，由此得到方程的解；
2. 方程$x^2-6x+9=0$的解为函数$y=x^2-6x+9$图像与x轴交点的横坐标，该函数图像顶点在$(3,0)$，与x轴仅有一个交点，故方程有两个相等的实根；
3. 方程$x^2+6x+10=0$对应的函数$y=x^2+6x+10$图像与x轴无交点，故方程无实数解。
【答案】
(1) $x_{1}=-2$，$x_{2}=1$；
(2) $x_{1}=x_{2}=3$；
(3) 无解。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解
【点评】
本题运用数形结合思想，通过二次函数图像与x轴的交点情况求解一元二次方程，直观体现了一元二次方程的解与对应二次函数图像的联系，可帮助理解不同根的情况对应的图像特征。
先分别画出对应二次函数$y=x^2+x-2$、$y=x^2-6x+9$、$y=x^2+6x+10$的图像：
1. 方程$x^2+x-2=0$的解为函数$y=x^2+x-2$图像与x轴交点的横坐标，由图像可知交点为$(-2,0)$和$(1,0)$，由此得到方程的解；
2. 方程$x^2-6x+9=0$的解为函数$y=x^2-6x+9$图像与x轴交点的横坐标，该函数图像顶点在$(3,0)$，与x轴仅有一个交点，故方程有两个相等的实根；
3. 方程$x^2+6x+10=0$对应的函数$y=x^2+6x+10$图像与x轴无交点，故方程无实数解。
【答案】
(1) $x_{1}=-2$，$x_{2}=1$；
(2) $x_{1}=x_{2}=3$；
(3) 无解。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解
【点评】
本题运用数形结合思想，通过二次函数图像与x轴的交点情况求解一元二次方程，直观体现了一元二次方程的解与对应二次函数图像的联系，可帮助理解不同根的情况对应的图像特征。
3. 判断下列函数的图像与 $ x $ 轴的位置关系.
(1) $ y = 2 - x - x^{2} $；(2) $ y = \frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{1}{2} $；(3) $ y = x^{2} - 2x + 2 $.
(1) $ y = 2 - x - x^{2} $；(2) $ y = \frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{1}{2} $；(3) $ y = x^{2} - 2x + 2 $.
答案
解：$(1)2-x-x^2=0$，$(-1)^2-4×(-1)×2=9＞0$，一元二次方程
有两不相等的实数根
∴$y=2-x-x^2$的图像与x轴有2个公共点
$(2)\frac 12x^2+x+\frac 12=0$，$1^2-4×\frac 12×\frac 12=0$，一元二次方程有两相等实数根
∴$y=\frac 12x^2+x+\frac 12$的图像与x轴有1个公共点
$(3)x^2-2x+2=0$，$(-2)^2-4×1×2=-4＜0$，一元二次方程无解
∴$y=x^2-2x+2$的图像与x轴无公共点
有两不相等的实数根
∴$y=2-x-x^2$的图像与x轴有2个公共点
$(2)\frac 12x^2+x+\frac 12=0$，$1^2-4×\frac 12×\frac 12=0$，一元二次方程有两相等实数根
∴$y=\frac 12x^2+x+\frac 12$的图像与x轴有1个公共点
$(3)x^2-2x+2=0$，$(-2)^2-4×1×2=-4＜0$，一元二次方程无解
∴$y=x^2-2x+2$的图像与x轴无公共点
解析
【解析】
(1) 令$y=0$，得方程$2 - x - x^{2}=0$，计算判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×(-1)×2 = 9＞0$，可知该一元二次方程有两个不相等的实数根，因此$y = 2 - x - x^{2}$的图像与$x$轴有2个公共点；
(2) 令$y=0$，得方程$\frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{1}{2}=0$，计算判别式$\Delta = 1^2 - 4×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=0$，可知该一元二次方程有两个相等的实数根，因此$y = \frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{1}{2}$的图像与$x$轴有1个公共点；
(3) 令$y=0$，得方程$x^{2} - 2x + 2=0$，计算判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×2=-4＜0$，可知该一元二次方程无实数根，因此$y = x^{2} - 2x + 2$的图像与$x$轴无公共点。
【答案】
(1) 与$x$轴有2个公共点；
(2) 与$x$轴有1个公共点；
(3) 与$x$轴无公共点。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，二次函数与x轴的交点
【点评】
本题考查利用判别式判断二次函数图像与$x$轴的位置关系，关键是准确计算判别式的值，根据判别式的正负情况确定方程根的个数，进而得到函数图像与$x$轴的交点情况，计算时需注意系数的符号。
(1) 令$y=0$，得方程$2 - x - x^{2}=0$，计算判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×(-1)×2 = 9＞0$，可知该一元二次方程有两个不相等的实数根，因此$y = 2 - x - x^{2}$的图像与$x$轴有2个公共点；
(2) 令$y=0$，得方程$\frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{1}{2}=0$，计算判别式$\Delta = 1^2 - 4×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=0$，可知该一元二次方程有两个相等的实数根，因此$y = \frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{1}{2}$的图像与$x$轴有1个公共点；
(3) 令$y=0$，得方程$x^{2} - 2x + 2=0$，计算判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×2=-4＜0$，可知该一元二次方程无实数根，因此$y = x^{2} - 2x + 2$的图像与$x$轴无公共点。
【答案】
(1) 与$x$轴有2个公共点；
(2) 与$x$轴有1个公共点；
(3) 与$x$轴无公共点。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，二次函数与x轴的交点
【点评】
本题考查利用判别式判断二次函数图像与$x$轴的位置关系，关键是准确计算判别式的值，根据判别式的正负情况确定方程根的个数，进而得到函数图像与$x$轴的交点情况，计算时需注意系数的符号。
4. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 6 $.
(1) 画出这个函数的图像；
(2) 利用图像解方程 $ x^{2} - 4x + 6 = 6 $.
(1) 画出这个函数的图像；
(2) 利用图像解方程 $ x^{2} - 4x + 6 = 6 $.
答案
解：(1)如图所示
(2)由图像可知，$y=x^2-4x+6$与直线y=6的
交点为(0，6)、(4，6)
∴$x^2-4x+6=6$的解为$x_{1}= 0 $，$x_{2}=4$
解析
【解析】
(1) 先将二次函数$y=x^2-4x+6$配方为顶点式$y=(x-2)^2+2$，可得顶点坐标为$(2,2)$，对称轴为直线$x=2$，再选取$x=0,1,3,4$等点计算对应$y$值，描点连线即可画出函数图像，如图所示：
(2) 方程$x^2-4x+6=6$的解等价于二次函数$y=x^2-4x+6$与直线$y=6$交点的横坐标。由图像可知，两图像的交点为$(0,6)$和$(4,6)$，因此方程的解为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
(1) 函数图像见解析；
(2) $x_1=0$，$x_2=4$
【知识点】
二次函数图像绘制、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题借助数形结合思想，将求解一元二次方程转化为寻找二次函数与直线的交点，直观展现了二次函数与一元二次方程的内在联系，有助于理解方程解的几何意义。
(1) 先将二次函数$y=x^2-4x+6$配方为顶点式$y=(x-2)^2+2$，可得顶点坐标为$(2,2)$，对称轴为直线$x=2$，再选取$x=0,1,3,4$等点计算对应$y$值，描点连线即可画出函数图像，如图所示：
(2) 方程$x^2-4x+6=6$的解等价于二次函数$y=x^2-4x+6$与直线$y=6$交点的横坐标。由图像可知，两图像的交点为$(0,6)$和$(4,6)$，因此方程的解为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
(1) 函数图像见解析；
(2) $x_1=0$，$x_2=4$
【知识点】
二次函数图像绘制、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题借助数形结合思想，将求解一元二次方程转化为寻找二次函数与直线的交点，直观展现了二次函数与一元二次方程的内在联系，有助于理解方程解的几何意义。
5.4 二次函数与一元二次方程(2)
利用二次函数的图像，借助计算器探索下列方程的根(精确到 0.1).
(1) $ 2x^{2}+3x - 1 = 0 $； (2) $ -x^{2}-2x + 1 = 0 $.
利用二次函数的图像，借助计算器探索下列方程的根(精确到 0.1).
(1) $ 2x^{2}+3x - 1 = 0 $； (2) $ -x^{2}-2x + 1 = 0 $.
答案
解：$(1)x_{1}≈-1.7 $，$x_{2}≈0.2$
解：$(2)x_{1}≈ -2.4 $，$x_{2}≈0.4$
利用二次函数的图像，借助计算器探索下列方程的根(精确到 0.1).
(1) $ 2x^{2}+3x - 1 = 0 $； (2) $ -x^{2}-2x + 1 = 0 $.
答案
解：$(1)x_{1}≈-1.7 $，$x_{2}≈0.2$
解：$(2)x_{1}≈ -2.4 $，$x_{2}≈0.4$
