19. 如图，圆的圆心为 $ O $，半径为 $ r $.
（1）请在图①、图②中用两种方法画图，将该圆的面积分四等份（画出大致分法即可）.
（2）如图③，若以点 $ O $ 为圆心的三个同心圆把以 $ OA $ 为半径的大圆圆 $ O $ 的面积四等分（每个圆环的面积相等），求这三个小圆的半径 $ OB:OC:OD $ 的值.

解：
（1）
图①：过圆心O作两条互相垂直的直径，将圆分成四个面积相等的扇形；
图②：以O为圆心，作三个同心圆，使最小圆、两个圆环的面积均为大圆面积的$\frac{1}{4}$。
（2）设$OA=R$，则大圆的面积为$π R^2$。
由题意得：
$π OD^2 = \frac{1}{4}π R^2$，
$OD^2 = \frac{1}{4}R^2$，
$OD = \frac{1}{2}R$；
$π OC^2 = \frac{2}{4}π R^2$，
$OC^2 = \frac{1}{2}R^2$，
$OC = \frac{\sqrt{2}}{2}R$；
$π OB^2 = \frac{3}{4}π R^2$，
$OB^2 = \frac{3}{4}R^2$，
$OB = \frac{\sqrt{3}}{2}R$；
则$OB:OC:OD = \frac{\sqrt{3}}{2}R:\frac{\sqrt{2}}{2}R:\frac{1}{2}R = \sqrt{3}:\sqrt{2}:1$。
答：$OB:OC:OD$的值为$\sqrt{3}:\sqrt{2}:1$。

20. 已知 $ a＞0 $，$ b＞0 $，且在实数范围内 $ a - 2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} $. 在实数范围内因式分解 $ a^{2}+2a\sqrt{ab}+ab $.

解：
$\begin{aligned}a^{2}+2a\sqrt{ab}+ab&=a(a + 2\sqrt{ab} + b)\\&=a[(\sqrt{a})^{2} + 2\sqrt{a}·\sqrt{b} + (\sqrt{b})^{2}]\\&=a(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2}\end{aligned}$

21. [阅读材料]转化是解决数学问题常用的思想方法. 其思路为：将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题得以顺利解决. 例如：已知 $ x=\sqrt{3}-1 $，求 $ x^{2}+3x - 1 $ 的值. 由 $ x=\sqrt{3}-1 $ 移项得 $ x + 1=\sqrt{3} $，再两边同时平方“化无（无理数或式）为有（有理数或式）”得 $ (x + 1)^{2}=3 $，即 $ x^{2}=2 - 2x $，再将 $ x^{2}=2 - 2x $ 代入原式逐级降次，即 $ x^{2}+3x - 1=2 - 2x+3x - 1=x + 1=\sqrt{3} $.
[解决问题]
（1）已知 $ x=\sqrt{5}-1 $，求 $ x^{2}+5x - 6 $ 的值.
（2）已知 $ a=\sqrt{3}-2 $ 时，求 $ a^{4}+4a^{3}+2a^{2}+4a + 3 $ 的值.
（3）已知 $ x=\dfrac{\sqrt{2029}-1}{2} $，求 $ x^{4}+x^{3}-500x^{2}+5x+\sqrt{2029} $ 的值.

解：
（1）已知$x=\sqrt{5}-1$，移项得$x+1=\sqrt{5}$，
两边平方得$(x+1)^2=5$，即$x^2+2x+1=5$，整理得$x^2=4-2x$。
将$x^2=4-2x$代入$x^2+5x-6$：
$x^2+5x-6=(4-2x)+5x-6=3x-2$，
把$x=\sqrt{5}-1$代入得：
$3(\sqrt{5}-1)-2=3\sqrt{5}-5$。
（2）已知$a=\sqrt{3}-2$，移项得$a+2=\sqrt{3}$，
两边平方得$(a+2)^2=3$，即$a^2+4a+4=3$，整理得$a^2=-4a-1$。
则$a^3=a· a^2=a(-4a-1)=-4a^2-a$，
$a^4=(a^2)^2=(-4a-1)^2=16a^2+8a+1$。
将$a^4$、$a^3$代入$a^4+4a^3+2a^2+4a+3$：
原式$=(16a^2+8a+1)+4(-4a^2-a)+2a^2+4a+3$
$=16a^2+8a+1-16a^2-4a+2a^2+4a+3$
$=2a^2+8a+4$，
把$a^2=-4a-1$代入得：
$2(-4a-1)+8a+4=2$。
（3）已知$x=\dfrac{\sqrt{2029}-1}{2}$，则$2x+1=\sqrt{2029}$，
两边平方得$(2x+1)^2=2029$，即$4x^2+4x+1=2029$，整理得$x^2=507-x$。
则$x^3=x· x^2=x(507-x)=507x-x^2$，
$x^4=(x^2)^2=(507-x)^2=507^2-1014x+x^2$。
将$x^4$、$x^3$和$\sqrt{2029}=2x+1$代入原式：
原式$=(507^2-1014x+x^2)+(507x-x^2)-500x^2+5x+(2x+1)$
$=507^2-1014x+x^2+507x-x^2-500x^2+5x+2x+1$
$=507^2-500x^2-500x+1$，
由$x^2=507-x$得$x^2+x=507$，则$-500x^2-500x=-500(x^2+x)=-500×507$，
代入得：
原式$=507^2-500×507+1=507×(507-500)+1=3550$。