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1. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 6 cm，8 cm，则它的斜边长为().
A.10 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
A.10 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
A
解析
根据勾股定理，直角三角形斜边长的平方等于两条直角边长的平方和。设斜边长为$ c $，则$ c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $，解得$ c = 10 \, \mathrm{cm} $。
2. 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数字及字母 S 表示所在正方形的面积，其中 S 的值等于 10 的是().
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
D
解析
根据勾股定理，直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。
选项A：$ S=5+15=20 ≠ 10 $；
选项B：$ S=8+6=14 ≠ 10 $；
选项C：$ S=8-6=2 ≠ 10 $；
选项D：$ S=15-5=10 $，符合要求。
选项A：$ S=5+15=20 ≠ 10 $；
选项B：$ S=8+6=14 ≠ 10 $；
选项C：$ S=8-6=2 ≠ 10 $；
选项D：$ S=15-5=10 $，符合要求。
3. 若直角三角形的三边长分别是 2，4，x，则 x 的值是().
A.2√3
B.2√5
C.2√3 或 2√5
D.不能确定
A.2√3
B.2√5
C.2√3 或 2√5
D.不能确定
答案
C
解析
分两种情况讨论：
1. 当x为斜边时，根据勾股定理：$x^2 = 2^2 + 4^2 = 20$，解得$x=2\sqrt{5}$；
2. 当4为斜边时，x为直角边，根据勾股定理：$x^2 = 4^2 - 2^2 = 12$，解得$x=2\sqrt{3}$。
综上，x的值为$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{5}$。
1. 当x为斜边时，根据勾股定理：$x^2 = 2^2 + 4^2 = 20$，解得$x=2\sqrt{5}$；
2. 当4为斜边时，x为直角边，根据勾股定理：$x^2 = 4^2 - 2^2 = 12$，解得$x=2\sqrt{3}$。
综上，x的值为$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{5}$。
4. 在△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 1，则 AC 的长是().
A.2
B.√3
C.1
D.不能确定
A.2
B.√3
C.1
D.不能确定
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1。根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AB=2BC=2×1=2。再由勾股定理AC²+BC²=AB²，代入得AC²+1²=2²，解得AC=√3。
5. 在平面直角坐标系中，已知点 A(3，4)，则点 A 到坐标原点的距离是.
答案
5
解析
在平面直角坐标系中，原点为O(0,0)，点A(3,4)。根据勾股定理，点A到原点的距离为$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$。
6. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，图中△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的边 AB =，BC =，AC =.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{5}}$，$\boldsymbol{\sqrt{17}}$，$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$
解析
根据勾股定理，结合网格中各顶点的位置计算：
对于AB：横向距离为1，纵向距离为2，因此$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
对于BC：横向距离为4，纵向距离为1，因此$BC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$；
对于AC：横向距离为3，纵向距离为3，因此$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
对于AB：横向距离为1，纵向距离为2，因此$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
对于BC：横向距离为4，纵向距离为1，因此$BC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$；
对于AC：横向距离为3，纵向距离为3，因此$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
7. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”这道题可以表述为如图所示，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC + AB = 10，BC = 3，求 AC 的长.
答案
解：设AC的长为$ x $，则$ AB = 10 - x $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ ACB = 90° $，由勾股定理得：
$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $
将$ AC = x $，$ BC = 3 $，$ AB = 10 - x $代入得：
$ x^2 + 3^2 = (10 - x)^2 $
展开并整理：
$ x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2 $
$ 20x = 91 $
解得：$ x = \frac{91}{20} $
答：AC的长为$ \frac{91}{20} $尺。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ ACB = 90° $，由勾股定理得：
$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $
将$ AC = x $，$ BC = 3 $，$ AB = 10 - x $代入得：
$ x^2 + 3^2 = (10 - x)^2 $
展开并整理：
$ x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2 $
$ 20x = 91 $
解得：$ x = \frac{91}{20} $
答：AC的长为$ \frac{91}{20} $尺。
