登录
10. 已知 $ a + b=-7 $，$ ab = 12 $，则 $ b\sqrt{\dfrac{a}{b}}+a\sqrt{\dfrac{b}{a}} $ 的值是().
A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ - 2\sqrt{3} $
C.$ 4\sqrt{3} $
D.$ - 4\sqrt{3} $
A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ - 2\sqrt{3} $
C.$ 4\sqrt{3} $
D.$ - 4\sqrt{3} $
答案
D
解析
1. 由$a+b=-7＜0$，$ab=12＞0$，可得$a＜0$，$b＜0$；
2. 化简原式：
$ b\sqrt{\dfrac{a}{b}} = b·\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|} = b·\dfrac{\sqrt{ab}}{-b} = -\sqrt{ab} $
$ a\sqrt{\dfrac{b}{a}} = a·\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|} = a·\dfrac{\sqrt{ab}}{-a} = -\sqrt{ab} $
3. 原式$ = -\sqrt{ab} - \sqrt{ab} = -2\sqrt{ab} $；
4. 代入$ab=12$，得$ -2\sqrt{12} = -4\sqrt{3} $。
2. 化简原式：
$ b\sqrt{\dfrac{a}{b}} = b·\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|} = b·\dfrac{\sqrt{ab}}{-b} = -\sqrt{ab} $
$ a\sqrt{\dfrac{b}{a}} = a·\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|} = a·\dfrac{\sqrt{ab}}{-a} = -\sqrt{ab} $
3. 原式$ = -\sqrt{ab} - \sqrt{ab} = -2\sqrt{ab} $；
4. 代入$ab=12$，得$ -2\sqrt{12} = -4\sqrt{3} $。
二、填空题
11. 计算 $ \sqrt{(-3)^{2}} $ 的结果是.
11. 计算 $ \sqrt{(-3)^{2}} $ 的结果是.
答案
解：
$\sqrt{(-3)^{2}} = \sqrt{9} = 3$
$\sqrt{(-3)^{2}} = \sqrt{9} = 3$
12. 使式子 $ \dfrac{x}{\sqrt{4 - x}} $ 有意义的 $ x $ 的取值范围是.
答案
$x ＜ 4$
解析
要使式子$\dfrac{x}{\sqrt{4 - x}}$有意义，需满足分母中的二次根式被开方数大于0（分母不能为0），即$4 - x ＞ 0$，解得$x ＜ 4$。
13. 若 $ \sqrt{2x - 3}+\sqrt{y - 1}=0 $，则 $ \sqrt{\dfrac{y}{x}} $ 的值为.
答案
$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
解析
根据二次根式的非负性，可知$\sqrt{2x - 3} ≥ 0$，$\sqrt{y - 1} ≥ 0$。因为$\sqrt{2x - 3}+\sqrt{y - 1}=0$，所以$\begin{cases}2x - 3 = 0 \\ y - 1 = 0\end{cases}$，解得$x=\frac{3}{2}$，$y=1$。将$x=\frac{3}{2}$，$y=1$代入$\sqrt{\dfrac{y}{x}}$，得$\sqrt{\dfrac{1}{\frac{3}{2}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$。
14. 比较 $ 2 $，$ \sqrt{5} $，$ \sqrt{7} $ 三个数的大小，并用“$＜$”连接：.
答案
$2＜\sqrt{5}＜\sqrt{7}$
解析
先将2转化为算术平方根形式：$2=\sqrt{4}$，根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”，因为$4＜5＜7$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{7}$，即$2＜\sqrt{5}＜\sqrt{7}$。
15. 观察下列等式：
① $ 3 - 2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^{2} $；
② $ 5 - 2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2} $；
③ $ 7 - 2\sqrt{12}=(\sqrt{4}-\sqrt{3})^{2} $；
……
请你根据以上规律，写出第 $ 6 $ 个等式：.
① $ 3 - 2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^{2} $；
② $ 5 - 2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2} $；
③ $ 7 - 2\sqrt{12}=(\sqrt{4}-\sqrt{3})^{2} $；
……
请你根据以上规律，写出第 $ 6 $ 个等式：.
答案
$13 - 2\sqrt{42}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2$
解析
分析等式规律：
1. 第$n$个等式左边第一项为$2n+1$，根号内的数为$n(n+1)$；
2. 右边为$(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2$。
当$n=6$时，左边第一项为$2×6+1=13$，根号内的数为$6×7=42$，右边为$(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2$，因此第6个等式为$13 - 2\sqrt{42}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2$。
1. 第$n$个等式左边第一项为$2n+1$，根号内的数为$n(n+1)$；
2. 右边为$(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2$。
当$n=6$时，左边第一项为$2×6+1=13$，根号内的数为$6×7=42$，右边为$(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2$，因此第6个等式为$13 - 2\sqrt{42}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2$。
三、解答题
16. 计算.
（1）$ \sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{3} $.
（2）$ (5\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{8})×\sqrt{6} $.
16. 计算.
（1）$ \sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{3} $.
（2）$ (5\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{8})×\sqrt{6} $.
答案
解：
（1）$\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\sqrt{3}$
$=(3-2+1)\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
（2）$(5\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{8})×\sqrt{6}$
$=5\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{6}-\sqrt{8}×\sqrt{6}$
$=5\sqrt{\dfrac{1}{3}×6}-\sqrt{8×6}$
$=5\sqrt{2}-\sqrt{48}$
$=5\sqrt{2}-4\sqrt{3}$
（1）$\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\sqrt{3}$
$=(3-2+1)\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
（2）$(5\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{8})×\sqrt{6}$
$=5\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{6}-\sqrt{8}×\sqrt{6}$
$=5\sqrt{\dfrac{1}{3}×6}-\sqrt{8×6}$
$=5\sqrt{2}-\sqrt{48}$
$=5\sqrt{2}-4\sqrt{3}$
17. 先化简，再求值：$ \dfrac{1}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}} $，其中 $ x = 4 $.
答案
解：
$\dfrac{1}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$
$=\dfrac{1}{3}×3\sqrt{x}+6×\dfrac{\sqrt{x}}{2}-2x×\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
$=\sqrt{x}+3\sqrt{x}-2\sqrt{x}$
$=2\sqrt{x}$
当$x=4$时，
原式$=2\sqrt{4}=2×2=4$
$\dfrac{1}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$
$=\dfrac{1}{3}×3\sqrt{x}+6×\dfrac{\sqrt{x}}{2}-2x×\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
$=\sqrt{x}+3\sqrt{x}-2\sqrt{x}$
$=2\sqrt{x}$
当$x=4$时，
原式$=2\sqrt{4}=2×2=4$
18. 若 $ a $，$ b $ 是一个等腰三角形的两边长，且满足等式 $ 2\sqrt{3a - 6}+3\sqrt{2 - a}=b - 5 $，求这个等腰三角形的周长.
答案
解：
根据二次根式有意义的条件，得
$\begin{cases}3a - 6≥0 \\2 - a≥0\end{cases}$
解不等式组，得$a=2$。
将$a=2$代入等式$2\sqrt{3a - 6}+3\sqrt{2 - a}=b - 5$，得
$2\sqrt{3×2 - 6}+3\sqrt{2 - 2}=b - 5$
$0 + 0 = b - 5$
解得$b=5$。
当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时，$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，舍去；
当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时，$5+5＞2$，$5+2＞5$，满足三角形三边关系，
此时周长为$5+5+2=12$。
答：这个等腰三角形的周长为12。
根据二次根式有意义的条件，得
$\begin{cases}3a - 6≥0 \\2 - a≥0\end{cases}$
解不等式组，得$a=2$。
将$a=2$代入等式$2\sqrt{3a - 6}+3\sqrt{2 - a}=b - 5$，得
$2\sqrt{3×2 - 6}+3\sqrt{2 - 2}=b - 5$
$0 + 0 = b - 5$
解得$b=5$。
当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时，$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，舍去；
当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时，$5+5＞2$，$5+2＞5$，满足三角形三边关系，
此时周长为$5+5+2=12$。
答：这个等腰三角形的周长为12。
