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1. (★) 一个两位数的数字之和为 10，十位数字与个位数字对调后，所得的新数比原数小 36，则原来的两位数是。
答案
设原来两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 10 \\(10x + y) - (10y + x) = 36\end{cases}$
化简第二个方程：
$10x + y - 10y - x = 36 \implies 9x - 9y = 36 \implies x - y = 4$
联立方程组：
$\begin{cases}x + y = 10 \\x - y = 4\end{cases}$
两式相加：$2x = 14 \implies x = 7$
将$x = 7$代入$x + y = 10$，得$y = 3$
原数为$10x + y = 10×7 + 3 = 73$
73
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 10 \\(10x + y) - (10y + x) = 36\end{cases}$
化简第二个方程：
$10x + y - 10y - x = 36 \implies 9x - 9y = 36 \implies x - y = 4$
联立方程组：
$\begin{cases}x + y = 10 \\x - y = 4\end{cases}$
两式相加：$2x = 14 \implies x = 7$
将$x = 7$代入$x + y = 10$，得$y = 3$
原数为$10x + y = 10×7 + 3 = 73$
73
2. (★) 今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢。有雀燕二十五只，并重二斤一十三铢，则燕有只，雀有只。(选自《张丘建算经》，古时 1 斤 = 16 两，1 两 = 24 铢)
答案
设雀有$x$只，燕有$y$只。
1. 单位换算：
1斤=16两，1两=24铢，总重二斤一十三铢换算为铢：$2×16×24 + 13 = 781$铢；
雀重：$1×24 + 9 = 33$铢/只；燕重：$1×24 + 5 = 29$铢/只。
2. 列方程组：
$\begin{cases}x + y = 25 \\ 33x + 29y = 781\end{cases}$
3. 求解：
由$x = 25 - y$代入第二个方程：
$33(25 - y) + 29y = 781$
$825 - 4y = 781$
$4y = 44$
$y = 11$，则$x = 25 - 11 = 14$。
11；14
1. 单位换算：
1斤=16两，1两=24铢，总重二斤一十三铢换算为铢：$2×16×24 + 13 = 781$铢；
雀重：$1×24 + 9 = 33$铢/只；燕重：$1×24 + 5 = 29$铢/只。
2. 列方程组：
$\begin{cases}x + y = 25 \\ 33x + 29y = 781\end{cases}$
3. 求解：
由$x = 25 - y$代入第二个方程：
$33(25 - y) + 29y = 781$
$825 - 4y = 781$
$4y = 44$
$y = 11$，则$x = 25 - 11 = 14$。
11；14
3. (★) 某种仪器由 1 个 A 部件和 1 个 B 部件配套构成，每个工人每天可以加工 A 部件 1000 个或者加工 B 部件 600 个，现有工人 16 名，应怎样安排人力，才能使每天生产的 A 部件和 B 部件配套？
答案
设应安排$x$人生产A部件，安排$y$人生产B部件。
根据题意，得$\begin{cases}x + y = 16,\\1000x = 600y.\end{cases}$
由$1000x = 600y$可得$x=\frac{600y}{1000}= 0.6y$，
将$x = 0.6y$代入$x + y = 16$，可得：
$0.6y+y = 16$，
$1.6y = 16$，
$y = 10$。
将$y = 10$代入$x + y = 16$，可得$x+10 = 16$，解得$x = 6$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 6,\\ y = 10.\end{cases}$
答：应安排$6$人生产A部件，安排$10$人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套。
根据题意，得$\begin{cases}x + y = 16,\\1000x = 600y.\end{cases}$
由$1000x = 600y$可得$x=\frac{600y}{1000}= 0.6y$，
将$x = 0.6y$代入$x + y = 16$，可得：
$0.6y+y = 16$，
$1.6y = 16$，
$y = 10$。
将$y = 10$代入$x + y = 16$，可得$x+10 = 16$，解得$x = 6$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 6,\\ y = 10.\end{cases}$
答：应安排$6$人生产A部件，安排$10$人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套。
4. (★) 把浓度分别为 90%和 60%的甲、乙两种酒精溶液，配制成浓度是 75%的消毒酒精溶液 500 g，求需甲、乙两种酒精溶液各多少克。
答案
设需甲种酒精溶液$x$克，乙种酒精溶液$y$克。
根据题意，得$\begin{cases}x + y = 500 \\ 90\%x + 60\%y = 75\%×500\end{cases}$
化简第二个方程：$0.9x + 0.6y = 0.75×500$，即$0.9x + 0.6y = 375$
由第一个方程得$y = 500 - x$，代入第二个方程：
$0.9x + 0.6(500 - x) = 375$
$0.9x + 300 - 0.6x = 375$
$0.3x = 75$
$x = 250$
则$y = 500 - 250 = 250$
答：需甲种酒精溶液250克，乙种酒精溶液250克。
根据题意，得$\begin{cases}x + y = 500 \\ 90\%x + 60\%y = 75\%×500\end{cases}$
化简第二个方程：$0.9x + 0.6y = 0.75×500$，即$0.9x + 0.6y = 375$
由第一个方程得$y = 500 - x$，代入第二个方程：
$0.9x + 0.6(500 - x) = 375$
$0.9x + 300 - 0.6x = 375$
$0.3x = 75$
$x = 250$
则$y = 500 - 250 = 250$
答：需甲种酒精溶液250克，乙种酒精溶液250克。
5. (★) 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业。某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植 A，B 两种农作物。种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
已知农作物种植人员共 24 人，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共 60 万元，问：A，B 这两种农作物的种植面积各多少公顷？
已知农作物种植人员共 24 人，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共 60 万元，问：A，B 这两种农作物的种植面积各多少公顷？
答案
设A农作物的种植面积为$x$公顷，B农作物的种植面积为$y$公顷。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}4x + 3y = 24, \, \mathrm{(人员总数方程)} \\8x + 9y = 60. \, \mathrm{(资金总数方程)}\end{cases}$
将第一个方程乘以3，得到：
$12x + 9y = 72$，
用上述方程减去第二个方程，得到：
$4x = 12$，
解得：
$x = 3$，
将$x = 3$代入第一个方程，得到：
$4 × 3 + 3y = 24$，
$12 + 3y = 24$，
$3y = 12$，
解得：
$y = 4$，
所以，A农作物的种植面积为3公顷，B农作物的种植面积为4公顷。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}4x + 3y = 24, \, \mathrm{(人员总数方程)} \\8x + 9y = 60. \, \mathrm{(资金总数方程)}\end{cases}$
将第一个方程乘以3，得到：
$12x + 9y = 72$，
用上述方程减去第二个方程，得到：
$4x = 12$，
解得：
$x = 3$，
将$x = 3$代入第一个方程，得到：
$4 × 3 + 3y = 24$，
$12 + 3y = 24$，
$3y = 12$，
解得：
$y = 4$，
所以，A农作物的种植面积为3公顷，B农作物的种植面积为4公顷。
