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1. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$AB⊥ AC$。若$AB = 4$，$AC = 6$，则$BD$的长是(
A.$10$
B.$9$
C.$8$
D.$11$
A
)A.$10$
B.$9$
C.$8$
D.$11$
答案
1. A
2. 如图，在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AE$垂直平分$BO$，$AE = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，则$OD =$(
A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$1.5\ \mathrm{cm}$
C.$2\ \mathrm{cm}$
D.$3\ \mathrm{cm}$
C
)A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$1.5\ \mathrm{cm}$
C.$2\ \mathrm{cm}$
D.$3\ \mathrm{cm}$
答案
2. C
3. 如图，$BD$是菱形$ABCD$的对角线，$∠ CBD = 75^{\circ}$。作$AB$的垂直平分线$EF$，垂足为$E$，交$AD$于点$F$，连接$BF$，则$∠ DBF$的度数为
$45^{\circ}$
。答案
3. $45^{\circ}$
4. 如图，将矩形纸片$ABCD$沿$EF$折叠，使点$D$与$BC$边的中点$D'$重合。若$BC = 8$，$CD = 6$，则$CF =$
$\frac{5}{3}$
。答案
4. $\frac{5}{3}$
5. 如图，点$E$是$□ ABCD$的边$CD$的中点，$AE$，$BC$的延长线交于点$F$，$CF = 3$，$CE = 2$，求$□ ABCD$的周长。
答案
5. 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，
∴ $∠ DAE = ∠ F$，$∠ D = ∠ ECF$.
又
∵ $E$ 是 $CD$ 的中点，
∴ $ED = EC$，
∴ $△ ADE ≌ △ FCE(AAS)$，
∴ $AD = CF = 3$，
$DE = CE = 2$，
∴ $DC = 4$，
∴ $□ ABCD$ 的周长为 $2(AD + DC) = 14$.
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，
∴ $∠ DAE = ∠ F$，$∠ D = ∠ ECF$.
又
∵ $E$ 是 $CD$ 的中点，
∴ $ED = EC$，
∴ $△ ADE ≌ △ FCE(AAS)$，
∴ $AD = CF = 3$，
$DE = CE = 2$，
∴ $DC = 4$，
∴ $□ ABCD$ 的周长为 $2(AD + DC) = 14$.
1. 下列判断错误的是(
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.四个内角都相等的四边形是矩形
C.四条边都相等的四边形是菱形
D.两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
D
)A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.四个内角都相等的四边形是矩形
C.四条边都相等的四边形是菱形
D.两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
答案
1. D
2. 如图，在正方形$ABCD$中，点$O$是对角线$AC$，$BD$的交点，过点$O$作射线$OM$，$ON$分别交$BC$，$CD$于点$E$，$F$，且$∠ EOF = 90^{\circ}$，$OC$，$EF$交于点$G$。给出下列结论：①$△ COE≌△ DOF$；②$CF = BE$；③四边形$CEOF$的面积为正方形$ABCD$面积的$\dfrac{1}{4}$；④$OF^{2} + OE^{2} = EF^{2}$。其中正确的是（
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.③④
A
）A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.③④
答案
2. A
3. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB// CD$。$AC$平分$∠ BAD$，$CE// AD$交$AB$于点$E$。
(1)求证：四边形$AECD$是菱形；
(2)若点$E$是$AB$的中点，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
(1)求证：四边形$AECD$是菱形；
(2)若点$E$是$AB$的中点，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
3. (1) 证明：
∵ $AB // CD$，$CE // AD$，
∴ 四边形 $AECD$ 是平行四边形，
$∠ CAE = ∠ DCA$.
∵ $AC$ 平分 $∠ BAD$，
∴ $∠ DAC = ∠ CAE$，
∴ $∠ DAC = ∠ DCA$，
∴ $AD = DC$.
∴ 四边形 $AECD$ 是菱形.
(2) $△ ABC$ 是直角三角形.
理由：
∵ 四边形 $AECD$ 是菱形，
∴ $AE = EC$，
∴ $∠ CAE = ∠ ACE$.
∵ $AE = EB$，
∴ $EB = EC$，
∴ $∠ BCE = ∠ B$.
又
∵ 三角形内角和为 $180^{\circ}$，
∴ $∠ CAE + ∠ ACE + ∠ BCE + ∠ B = 180^{\circ}$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACE + ∠ BCE = 90^{\circ}$，
∴ $△ ABC$ 是直角三角形.
∵ $AB // CD$，$CE // AD$，
∴ 四边形 $AECD$ 是平行四边形，
$∠ CAE = ∠ DCA$.
∵ $AC$ 平分 $∠ BAD$，
∴ $∠ DAC = ∠ CAE$，
∴ $∠ DAC = ∠ DCA$，
∴ $AD = DC$.
∴ 四边形 $AECD$ 是菱形.
(2) $△ ABC$ 是直角三角形.
理由：
∵ 四边形 $AECD$ 是菱形，
∴ $AE = EC$，
∴ $∠ CAE = ∠ ACE$.
∵ $AE = EB$，
∴ $EB = EC$，
∴ $∠ BCE = ∠ B$.
又
∵ 三角形内角和为 $180^{\circ}$，
∴ $∠ CAE + ∠ ACE + ∠ BCE + ∠ B = 180^{\circ}$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACE + ∠ BCE = 90^{\circ}$，
∴ $△ ABC$ 是直角三角形.
1. 在$ABCD$中，$AD = BD$，$BE$是$AD$边上的高，$∠ EBD = 20^{\circ}$，则$∠ A$的度数为
$55^{\circ}$ 或 $35^{\circ}$
。答案
1. $55^{\circ}$ 或 $35^{\circ}$
2. 如图，将$□ ABCD$的边$AB$延长至点$E$，使$AB = BE$，连接$BD$，$DE$，$EC$，$DE$交$BC$于点$O$。
(1)求证：$△ ABD≌△ BEC$；
(2)若$∠ BOD = 2∠ A$，求证：四边形$BECD$是矩形。
(1)求证：$△ ABD≌△ BEC$；
(2)若$∠ BOD = 2∠ A$，求证：四边形$BECD$是矩形。
答案
2. 证明：(1)
∵ 在 $ABCD$ 中，$AD = BC$，$AD // CB$，
∴ $∠ A = ∠ EBC$.
在 $△ ABD$ 和 $△ BEC$ 中，$\begin{cases} AB = BE, \\ ∠ A = ∠ EBC, \\ AD = BC, \end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ BEC(SAS)$.
(2)
∵ 在 $□ ABCD$ 中，$AB // CD$，且 $AB = BE$，
∴ $BE // CD$，
∴ 四边形 $BECD$ 为平行四边形，
∴ $OB = \frac{1}{2}BC$，$OE = \frac{1}{2}ED$.
∵ $∠ BOD = 2∠ A = 2∠ EBC$，
且 $∠ BOD = ∠ EBC + ∠ BEO$，
∴ $∠ EBC = ∠ BEO$，
∴ $OB = OE$，
∴ $BC = ED$，
∴ 四边形 $BECD$ 是矩形.
∵ 在 $ABCD$ 中，$AD = BC$，$AD // CB$，
∴ $∠ A = ∠ EBC$.
在 $△ ABD$ 和 $△ BEC$ 中，$\begin{cases} AB = BE, \\ ∠ A = ∠ EBC, \\ AD = BC, \end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ BEC(SAS)$.
(2)
∵ 在 $□ ABCD$ 中，$AB // CD$，且 $AB = BE$，
∴ $BE // CD$，
∴ 四边形 $BECD$ 为平行四边形，
∴ $OB = \frac{1}{2}BC$，$OE = \frac{1}{2}ED$.
∵ $∠ BOD = 2∠ A = 2∠ EBC$，
且 $∠ BOD = ∠ EBC + ∠ BEO$，
∴ $∠ EBC = ∠ BEO$，
∴ $OB = OE$，
∴ $BC = ED$，
∴ 四边形 $BECD$ 是矩形.
