1. 下列命题是真命题的是()

A.四边都相等的四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直的平行四边形是正方形

1. C.

2. 已知矩形 $ABCD$ 的对角线为 $AC$，$BD$，要使这个矩形为正方形，可以添加一个关于边的条件：；也可以添加一个关于对角线的条件：.

2. 答案不唯一，如 $ AB = AD $；$ AC ⊥ BD $.

3. 如图，已知点 $E$，$F$，$G$，$H$ 分别是正方形 $ABCD$ 四条边上的点，并且 $AE = BF = CG = DH$.求证：四边形 $EFGH$ 是正方形.

解：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D = 90^{\circ}$，$AB = BC = CD = DA$。
又因为$AE = BF = CG = DH$，所以$AH = BE = CF = DG$。
在$△ AEH$和$△ BFE$中：
$\begin{cases}AE = BF\\∠ A=∠ B\\AH = BE\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理可得$△ AEH≌△ BFE$，所以$EH = FE$，$∠ AEH=∠ BFE$。
因为$∠ BFE+∠ BEF = 90^{\circ}$，所以$∠ AEH+∠ BEF = 90^{\circ}$，则$∠ HEF = 180^{\circ}-(∠ AEH+∠ BEF)=90^{\circ}$。
同理可证$△ BFE≌△ CGF≌△ DGH≌△ AEH$，所以$EH = FE = FG = GH$。
所以四边形$EFGH$是菱形。
又因为$∠ HEF = 90^{\circ}$，所以四边形$EFGH$是正方形。

4. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $AB$ 中点，$FE⊥ AB$，$AF = 2AE$，$FC$ 交 $BD$ 于点 $O$，求 $∠ DOC$ 的度数.

4. 提示：连接 $ BF $，$ ∠ DOC = 60^{\circ} $.

问题 已知 $A$，$B$ 为直线 $l$ 上两点，点 $C$ 为直线 $l$ 上方一动点，连接 $AC$，$BC$，分别以 $AC$，$BC$ 为边向 $△ ABC$ 外作正方形 $CADF$ 和正方形 $CBEG$，过点 $D$ 作 $DD_1⊥ l$ 于点 $D_1$，过点 $E$ 作 $EE_1⊥ l$ 于点 $E_1$.
（1）如图（1），当点 $E$ 恰好在直线 $l$ 上时（此时点 $E_1$ 与 $E$ 重合），试说明 $DD_1 = AB$.
（2）在图（2）中，当 $D$，$E$ 两点都在直线 $l$ 的上方时，试探求三条线段 $DD_1$，$EE_1$，$AB$ 之间的数量关系，并说明理由.
（3）如图（3），当点 $E$ 在直线 $l$ 的下方时，请直接写出三条线段 $DD_1$，$EE_1$，$AB$ 之间的数量关系（不需要证明）.

（1）∵四边形CADF是正方形，∴AD=AC，∠CAD=90°，∴∠DAD₁+∠CAB=90°。
∵DD₁⊥l，∴∠DD₁A=90°，∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，∴∠CAB=∠ADD₁。
∵E在l上，四边形CBEG是正方形，∴∠CBE=90°，CB=BE，∴∠ABC=90°。
在△DD₁A和△ABC中，
$\{\begin{array}{l}∠DD₁A=∠ABC=90°\\∠ADD₁=∠CAB\\AD=AC\end{array} $，
∴△DD₁A≌△ABC（AAS），∴DD₁=AB。
（2）DD₁+EE₁=AB。
理由：过点C作CH⊥l于H。
∵四边形CADF是正方形，∴AD=AC，∠CAD=90°，∴∠DAD₁+∠CAH=90°。
∵DD₁⊥l，CH⊥l，∴∠DD₁A=∠CHA=90°，∠DAD₁+∠ADD₁=90°，∴∠CAH=∠ADD₁。
∴△DD₁A≌△AHC（AAS），∴DD₁=AH。
同理，四边形CBEG是正方形，BC=BE，∠CBE=90°，可证△CHB≌△E₁EB（AAS），∴EE₁=BH。
∵AB=AH+HB，∴AB=DD₁+EE₁。
（3）DD₁-EE₁=AB。