1. 在四边形 $ABCD$ 中，添加下列条件，四边形 $ABCD$ 一定为矩形的是()

A.$∠A = 90^{\circ}$，$AB // CD$
B.$∠A = 90^{\circ}$，$AB = CD$
C.$∠A = ∠B = 90^{\circ}$，$AC = BD$
D.$∠A = ∠B = 90^{\circ}$，$AC ⊥ BD$

1. C.

2. 检查一个门框(已知两组对边分别相等)是不是矩形，不可用的方法是()

A.测量两条对角线是否相等
B.用重垂线检查竖门框是否与地面垂直
C.测量两条对角线是否互相平分
D.测量门框的三个角是否都是直角

2. C.

3. 矩形的判定方法：
(1)有一个角是直角的是矩形。
(2)两条对角线的平行四边形是矩形。
(3)三个角都是的四边形是矩形。

3. (1) 平行四边形; (2) 相等; (3) 直角.

4. 在 $□ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$。如果 $∠ABO + ∠ADO = 90^{\circ}$，那么 $□ABCD$ 一定是。

4. 矩形.

5. 如图，在 $□ABCD$ 中，$E$ 为 $CD$ 中点，$△ABE$ 是等边三角形。求证：四边形 $ABCD$ 是矩形。

5. 提示: 证明 $ △ ADE ≌ △ BCE $.

问题 如图，点 $E$ 是矩形 $ABCD$ 的边 $AD$ 的中点，连接 $BE$，$CE$，$BC$ 边上有一动点 $P$，且 $PM ⊥ EB$，$PN ⊥ EC$。探究：
（1）当矩形 $ABCD$ 的长与宽满足什么条件时，四边形 $PMEN$ 也是矩形？
（2）在（1）的条件下，当点 $P$ 运动到 $BC$ 的中点时，$PM$ 与 $PN$ 有何数量关系？

名师指导
（1）要使四边形 $PMEN$ 是矩形，只要使 $∠MEN = 90^{\circ}$，而要使 $∠MEN = 90^{\circ}$，只要 $∠1 = ∠2 = 45^{\circ}$（由对称性知 $∠1 = ∠2$）。
（2）当 $P$ 为 $BC$ 的中点时，易证 $△PBM ≌ △PCN$。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：

（1）长是宽的2倍（或 $AD = 2AB$）；（2）$PM = PN$。

（1）设矩形 $ABCD$ 的宽 $AB = CD = a$，长 $AD = BC = b$。
∵ $E$ 是 $AD$ 中点，∴ $AE = \frac{1}{2}AD = \frac{b}{2}$。
要使四边形 $PMEN$ 是矩形，需 $∠MEN = 90°$。由对称性知 $∠1 = ∠2$，故 $∠1 = ∠2 = 45°$。
在 $Rt△ABE$ 中，$∠1 = 45°$，则 $AE = AB$，即 $\frac{b}{2} = a$，∴ $b = 2a$。
故当矩形长是宽的2倍时（即 $AD = 2AB$），四边形 $PMEN$ 是矩形。
（2）当 $P$ 为 $BC$ 中点时，$PM = PN$。
∵ $P$ 是 $BC$ 中点，$BC = 2AB$，设 $AB = a$，则 $BC = 2a$，$BP = PC = a$。
由（1）知 $∠1 = ∠2 = 45°$，∴ $∠3 = ∠ABE = 45°$，$∠4 = ∠DCE = 45°$，即 $∠3 = ∠4$。
∵ $PM⊥EB$，$PN⊥EC$，∴ $∠PMB = ∠PNC = 90°$。
在 $△PBM$ 和 $△PCN$ 中，$\begin{cases}∠PMB = ∠PNC \\∠3 = ∠4 \\BP = PC\end{cases}$，∴ $△PBM ≌ △PCN$（AAS），∴ $PM = PN$。