1. 满足下列条件的四边形为矩形的是()

A.有三个角相等
B.有一个角是直角
C.对角线相等且互相垂直
D.对角线相等且互相平分

1. D.

2. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，延长 $AD$ 到点 $E$，使 $DE = AD$，连接 $EB$，$EC$，$DB$。请你添加一个条件，使四边形 $DBCE$ 是矩形。

2. 答案不唯一, 如 $ ∠ EDB = 90^{\circ} $, $ AB = EB $ 等.

3. 已知点 $E$，$F$，$G$，$H$ 分别是四边形 $ABCD$ 的边 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，若 $AC ⊥ BD$，且 $AC ≠ BD$，则四边形 $EFGH$ 的形状是。

3. 矩形.

4. 如图，在 $△ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 为 $BC$ 中点，四边形 $ABDE$ 是平行四边形。求证：四边形 $ADCE$ 是矩形。

4. 证明: $ \because $ 四边形 $ ABDE $ 是平行四边形, $ \therefore BD = AE $, $ BC // AE $. $ \because D $ 为 $ BC $ 中点, 即 $ CD = BD $, $ \therefore CD = AE $, $ CD // AE $, $ \therefore $ 四边形 $ ADCE $ 是平行四边形. $ \because AB = AC $, $ D $ 为 $ BC $ 中点, $ \therefore AD ⊥ DC $, $ \therefore $ 四边形 $ ADCE $ 是矩形.

5. 如图，$E$ 为 $□ABCD$ 外一点，且 $AE ⊥ EC$，$BE ⊥ ED$。求证：$□ABCD$ 为矩形。

5. 证明: 连接 $ AC $, $ BD $, 它们相交于点 $ O $. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为平行四边形, $ \therefore OA = OC $, $ OB = OD $. $ \because AE ⊥ EC $, $ BE ⊥ ED $, $ \therefore OE $ 分别为 $ \mathrm{Rt} △ AEC $ 与 $ \mathrm{Rt} △ BED $ 斜边上的中线, $ \therefore OE = \frac{1}{2}AC $, $ OE = \frac{1}{2}BD $, $ \therefore AC = BD $, $ \therefore □ ABCD $ 为矩形.

6. 如图，在 $□ABCD$ 中，$DE ⊥ BC$ 于点 $E$，延长 $CB$ 至点 $F$，使得 $BF = CE$，连接 $AF$，$DF$。
（1）求证：四边形 $ADEF$ 是矩形；
（2）若 $AB = 3$，$DF = 4$，$CF = 5$，求 $AF$ 的长。

6. (1) 证明: 在 $ □ ABCD $ 中, $ AD // BC $, $ AB // CD $, $ AB = CD $, $ \therefore ∠ ABF = ∠ C $. 在 $ △ ABF $ 和 $ △ DCE $ 中, $ \{ \begin{array} { l } { A B = C D, } \\ { ∠ A B F = ∠ C, } \\ { B F = C E, } \end{array} $ $ \therefore △ ABF ≌ △ DCE ( \mathrm{ SAS } ) $, $ \therefore AF = DE $, $ ∠ AFB = ∠ DEC $, $ \therefore AF // DE $, $ \therefore $ 四边形 $ ADEF $ 是平行四边形. 又 $ \because DE ⊥ BC $, $ \therefore $ 四边形 $ ADEF $ 是矩形. (2) 在 $ □ ABCD $ 中, $ AB = CD = 3 $, $ \because DF ^ { 2 } + CD ^ { 2 } = 25 = CF ^ { 2 } $, $ \therefore ∠ CDF = 90 ^ { \circ } $. 又 $ \because DE ⊥ BC $, $ \therefore S _ { △ CDF } = \frac { 1 } { 2 } × CF × DE = \frac { 1 } { 2 } × CD × DF $, 即 $ DE = \frac { C D × D F } { C F } = \frac { 3 × 4 } { 5 } = \frac { 12 } { 5 } $. 又 $ \because $ 四边形 $ ADEF $ 是矩形, $ \therefore AF = DE = \frac { 12 } { 5 } $.