登录
一、选择题
1. 如图，一艘船上午8时从海岛A出发，以20n mile/h的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处眺望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°。若这艘船继续向正北方向航行，则上午()该船与灯塔C的距离最短。
A. 9时
B. 10时
C. 11时
D. 12时
1. 如图，一艘船上午8时从海岛A出发，以20n mile/h的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处眺望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°。若这艘船继续向正北方向航行，则上午()该船与灯塔C的距离最短。
A. 9时
B. 10时
C. 11时
D. 12时
答案
C
解析
由题意，船从A到B用时2小时，速度20n mile/h，故AB=20×2=40n mile。
∠NAC=30°，∠NBC=60°，∠NBC为△ABC外角，故∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°，则△ABC为等腰三角形，BC=AB=40n mile。
过C作CD⊥AN于D（D为船距C最近点），在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=40n mile，BD=BC·cos60°=40×0.5=20n mile。
船速20n mile/h，从B到D需20÷20=1小时，10时+1小时=11时。
∠NAC=30°，∠NBC=60°，∠NBC为△ABC外角，故∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°，则△ABC为等腰三角形，BC=AB=40n mile。
过C作CD⊥AN于D（D为船距C最近点），在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=40n mile，BD=BC·cos60°=40×0.5=20n mile。
船速20n mile/h，从B到D需20÷20=1小时，10时+1小时=11时。
2. 如图，小明在制作标本时，不小心将制作好的标本盖住了数学作业本上一个正n边形的一部分。若直线AM，BN所夹锐角为36°，则n的值是()
A.9
B.8
C.5
D.4
A.9
B.8
C.5
D.4
答案
C
解析
设正n边形的内角为θ，直线AM、BN相交形成的锐角为36°。由于AM、BN是正n边形相邻两边的延长线，在交点处形成的三角形中，两个底角均为180°-θ。根据三角形内角和定理：36° + 2(180° - θ) = 180°，解得θ=108°。正n边形内角公式为θ=(n-2)×180°/n，代入θ=108°，得(n-2)×180°/n=108°，解得n=5。
3. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处时摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度为1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处。若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是()
A.0.9m
B.1.3m
C.1.6m
D.2m
A.0.9m
B.1.3m
C.1.6m
D.2m
答案
A
解析
设悬挂点O到地面高度为H。在Rt△OBD中，OB=2m，BD=1.6m，由勾股定理得OD=√(OB²-BD²)=√(2²-1.6²)=1.2m。B点距地面1.3m，故H=1.3+1.2=2.5m。OB与OC成90°，设OC坐标(x,y)，由OB·OC=0及OC=2m，解得C点坐标(-1.2,1.6)（OG=1.6m）。C点距地面高度=H-OG=2.5-1.6=0.9m。
二、填空题
4. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
(1)以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；
(2)分别以点C和点D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧相交于点F；
(3)画射线AF交BC于点E。若∠C=2∠B，BC=23，BD=13，则AE的长为。
4. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
(1)以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；
(2)分别以点C和点D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧相交于点F；
(3)画射线AF交BC于点E。若∠C=2∠B，BC=23，BD=13，则AE的长为。
答案
∵以A为圆心，AC长为半径画弧交BC于D，∴AD=AC，△ADC为等腰三角形，∠ADC=∠C。
∵分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$长为半径画弧交于F，作射线AF交BC于E，∴AF垂直平分CD，∴E为CD中点，AE⊥CD，CE=DE。
∵BC=23，BD=13，∴CD=BC-BD=10，∴CE=DE=5。
设∠B=x，则∠C=2x，∠ADC=∠C=2x。
∵∠ADC是△ABD外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD，即2x=x+∠BAD，∴∠BAD=x=∠B，∴AD=BD=13，∴AC=AD=13。
在Rt△AEC中，AC=13，CE=5，由勾股定理得：AE=$\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
12
∵分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$长为半径画弧交于F，作射线AF交BC于E，∴AF垂直平分CD，∴E为CD中点，AE⊥CD，CE=DE。
∵BC=23，BD=13，∴CD=BC-BD=10，∴CE=DE=5。
设∠B=x，则∠C=2x，∠ADC=∠C=2x。
∵∠ADC是△ABD外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD，即2x=x+∠BAD，∴∠BAD=x=∠B，∴AD=BD=13，∴AC=AD=13。
在Rt△AEC中，AC=13，CE=5，由勾股定理得：AE=$\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
12
5. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF。若∠A=62°，∠ABD=23°，则∠ACF的度数为。
答案
49°
解析
∵BD平分∠ABC，∠ABD=23°，
∴∠ABC=2∠ABD=46°。
在△ABC中，∠A=62°，∠ABC=46°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-62°-46°=72°。
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠FBC=∠ABD=23°。
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=72°-23°=49°。
6. 提升题 如图，在△ABC中，∠B=30°，点D，E分别在BC，AC上，且AD=BD，DE=EC。若△ADE为等腰三角形，则∠BAC的度数为。
答案
110°或130°
解析
设∠BAC=θ，∠C=α。
∵AD=BD，∠B=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∠ADB=120°，则∠ADC=180°-120°=60°。
∵DE=EC，∴∠EDC=∠C=α，∠DEC=180°-2α，故∠AED=180°-∠DEC=2α。
∠ADE=∠ADC-∠EDC=60°-α，∠DAE=θ-30°。
△ABC内角和：θ+30°+α=180°，得α=150°-θ。
△ADE为等腰三角形分三种情况：
1. AD=AE：∠ADE=∠AED，即60°-α=2α，解得α=20°，θ=150°-20°=130°；
2. AD=DE：∠DAE=∠AED，即θ-30°=2α，代入α=150°-θ，得θ=110°；
3. AE=DE：∠DAE=∠ADE，即θ-30°=60°-α，化简矛盾，舍去。
综上，∠BAC=110°或130°。
∵AD=BD，∠B=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∠ADB=120°，则∠ADC=180°-120°=60°。
∵DE=EC，∴∠EDC=∠C=α，∠DEC=180°-2α，故∠AED=180°-∠DEC=2α。
∠ADE=∠ADC-∠EDC=60°-α，∠DAE=θ-30°。
△ABC内角和：θ+30°+α=180°，得α=150°-θ。
△ADE为等腰三角形分三种情况：
1. AD=AE：∠ADE=∠AED，即60°-α=2α，解得α=20°，θ=150°-20°=130°；
2. AD=DE：∠DAE=∠AED，即θ-30°=2α，代入α=150°-θ，得θ=110°；
3. AE=DE：∠DAE=∠ADE，即θ-30°=60°-α，化简矛盾，舍去。
综上，∠BAC=110°或130°。
