8. 提升题 我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是合拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的夹角∠BAC，且AE = AF = DE = DF。
(1)试说明∠DAE = ∠DAF。
(2)由(1)可得伞圈D在伞柄AP上滑动，如图①，伞打开时，∠BAC = 120°，AE = 20 cm；当伞合拢到图②状态时，∠BAC = 60°，则伞圈D下滑的距离DD₁的长是多少？

(1) 见上述证明；(2) 20(√3 -1)cm。

(1) ∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP。
∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，
∴△ADE≌△ADF(SSS)，
∴∠DAE=∠DAF。
(2) 图①中，∠BAC=120°，AP平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAF=60°。
∵AE=DE=20cm，∴△ADE为等边三角形，∴AD=AE=20cm。
图②中，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，∴∠D₁AE=∠D₁AF=30°。
在△AD₁E中，AE=D₁E=20cm，过E作EG⊥AD₁于G，
则AG=GD₁，∠EAG=30°。
在Rt△AEG中，AG=AE·cos30°=20×(√3/2)=10√3 cm，
∴AD₁=2AG=20√3 cm。
∴DD₁=AD₁-AD=20√3 -20=20(√3 -1)cm。